Uma bola é lançada verticalmente para cima, com velocidade inicial de
. Sendo de
a sua aceleração para baixo, qual o tempo necessário para atingir o ponto mais elevado da trajetória? A que distância do ponto inicial encontra-se este ponto mais elevado? Resolva este mesmo problema, aplicando os conceitos de cálculo diferencial (a partir da equação da trajetória da bola, encontre sua velocidade e respectiva aceleração). Esboce graficamente
e,
.
Passo 1
Resumo do enunciado: uma bola é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial
m/s e aceleração gravitacional
m/s² (para baixo). Pergunta-se: (a) o tempo até o ponto mais alto; (b) a altura máxima; e depois © resolver usando cálculo diferencial e esboçar graficamente
,
e
.
Conteúdo: Cinemática (movimento uniformemente variado) e cálculo diferencial (derivadas). Vamos precisar das fórmulas do MUV e do conceito de derivada para obter velocidade e aceleração.
Conteúdo: Cinemática (movimento uniformemente variado) e cálculo diferencial (derivadas). Vamos precisar das fórmulas do MUV e do conceito de derivada para obter velocidade e aceleração.
Passo 2
Calcular o tempo até o ponto mais alto usando:
No ponto mais alto
Passo 3
Calcular a altura máxima usando a equação do MUV:
Substituindo
Passo 4
Agora usando cálculo diferencial:
- Definimos a função posição
2) A velocidade é a derivada de:
- A aceleração é a derivada de
:
Verificamos o ponto mais alto fazendos e então m, consistindo com antes.
Esboço dos gráficos (sem escala exata):
-
: é uma parábola côncava para baixo, parte de , pico em . -
: reta decrescente, intercepta em 30, cruza zero em . -
: reta horizontal constante em .
Resposta
Tempo para atingir o ponto mais elevado:
s
Altura máxima: m
Equações:
Altura máxima:
Equações:
Gráficos: parábola para