Uma bola é lançada verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30 m / s. Sendo de 10 m / s^2 a sua aceleração para baixo, qual o tempo necessário para atingir o ponto mais elevado da trajetória? A que distância do ponto inicial encontra-se este ponto mais elevado? Resolva este mesmo problema, aplicando os conceitos de cálculo diferencial (a partir da equação da trajetória da bola, encontre sua velocidade e respectiva aceleração). Esboce graficamente h(t), v(t) e, a(t).

Passo 1

Resumo do enunciado: uma bola é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial v0 = 30,m/s e aceleração gravitacional g = 10,m/s² (para baixo). Pergunta-se: (a) o tempo até o ponto mais alto; (b) a altura máxima; e depois © resolver usando cálculo diferencial e esboçar graficamente h(t), v(t) e a(t).
Conteúdo: Cinemática (movimento uniformemente variado) e cálculo diferencial (derivadas). Vamos precisar das fórmulas do MUV e do conceito de derivada para obter velocidade e aceleração.

Passo 2

Calcular o tempo até o ponto mais alto usando:
v(t) = v0 - g,t
No ponto mais alto v(t)=0, então
0 = 30 - 10,t Longrightarrow t = 3010 = 3;s

Passo 3

Calcular a altura máxima usando a equação do MUV:
h(t) = v0,t - tfrac12,g,t^2
Substituindo t = 3,s:
h(3) = 30cdot3 - tfrac12cdot10cdot3^2 = 90 - 45 = 45;m

Passo 4

Agora usando cálculo diferencial:
  1. Definimos a função posição h(t) = 30,t - 5,t^2
    2) A velocidade é a derivada de h(t):
    v(t) = h'(t) = 30 - 10,t
  2. A aceleração é a derivada de v(t): a(t) = v'(t) = -10;m/s^2
    Verificamos o ponto mais alto fazendo v(t)=0;Rightarrow;t=3,s e então h(3)=45,m, consistindo com antes.
Esboço dos gráficos (sem escala exata):
  • h(t): é uma parábola côncava para baixo, parte de (0,0), pico em (3,45).
  • v(t): reta decrescente, intercepta v em 30, cruza zero em t=3.
  • a(t): reta horizontal constante em a=-10.

Resposta

Tempo para atingir o ponto mais elevado: 3,s
Altura máxima: 45,m
Equações:
h(t)=30t-5t^2, v(t)=30-10t, a(t)=-10
Gráficos: parábola para h(t), reta decrescente para v(t) e reta horizontal para a(t).

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