Seja o campo de velocidades bidimensional dado por:
\vec{V}(x, y)=(1,2+4,8 x) \hat{\mathrm{i}}+(-4,2-5,2 y) \hat{\mathrm{j}} .
(a) Esse campo de velocidades está em regime permanente ou transiente? Justifique.
(b) Calcule o rotacional \vec{\xi}=\vec{\nabla} \times \vec{V} desse campo.
(c) Quais as coordenadas do ponto de estagnação desse campo?
(d) Determine o campo de aceleração desse escoamento.
(e) Represente graficamente esse campo para x \in[-2,2] e y \in[0,2].

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidades bidimensional (usei vírgula como separador decimal, conforme está escrito):
\vec{V}(x,y) = \bigl(1,2 + 4,8\,x\bigr)\,\hat{\mathrm{i}} + \bigl(-4,2 - 5,2\,y\bigr)\,\hat{\mathrm{j}}.
As perguntas são:
(a) indicar se o escoamento é permanente (steady) ou transiente (unsteady) e justificar;
(b) calcular o rotacional \vec{\xi}=\nabla\times\vec{V};
(c) encontrar as coordenadas do ponto de estagnação (se houver);
(d) determinar o campo de aceleração desse escoamento;
(e) representar graficamente o campo para x\in[-2,2] e y\in[0,2].
Informações extraídas do enunciado úteis para a resolução:
  • Componente horizontal (velocidade em x): u(x,y)=1,2+4,8\,x.
  • Componente vertical (velocidade em y): v(x,y)=-4,2-5,2\,y.
  • Não há dependência explícita do tempo no enunciado.
  • Região de plotagem pedida: x\in[-2,2], y\in[0,2].

Passo 2

(a) Regime permanente ou transiente — explicação e resposta.
Definição prática: um escoamento é permanente (steady) quando o campo de velocidades não depende do tempo; isto é, a derivada local \partial\vec{V}/\partial t é nula. Se houver dependência explícita em t, o escoamento é transiente.
No problema o campo \vec{V}(x,y) foi fornecido sem nenhuma dependência em t (aparecem só x e y). Logo
\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}=\vec{0},
portanto o escoamento é permanente (steady).

Passo 3

(b) Cálculo do rotacional \vec{\xi}=\nabla\times\vec{V}.
Em coordenadas cartesianas 2D (campo plano u(x,y)\,\hat{\imath}+v(x,y)\,\hat{\jmath}), o rotacional é um vetor cujo único componente não nulo (direção z) é
\bigl(\nabla\times\vec{V}\bigr)_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.
Calculemos as derivadas parciais usando as expressões extraídas:
u(x,y)=1,2+4,8\,x \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial u}{\partial x}=4,8.
v(x,y)=-4,2-5,2\,y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial v}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=-5,2.
Portanto
\bigl(\nabla\times\vec{V}\bigr)_z = 0 - 0 = 0.
Como as componentes x e y do rotacional são nulas para um campo 2D sem dependência em z, o rotacional completo é o vetor nulo:
\vec{\xi}=\vec{0}.
Interpretação rápida: o escoamento é irrotacional (não tem vorticidade local).

Passo 4

(c) Ponto de estagnação — definição e cálculo.
Definição: ponto de estagnação é o ponto [(x,y)) onde a velocidade é nula, isto é u(x,y)=0 e v(x,y)=0 simultaneamente.
Resolva o sistema
\begin{cases} 1,2+4,8\,x=0,\\[4pt] -4,2-5,2\,y=0. \end{cases}
Da primeira equação:
4,8\,x = -1,2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-1,2}{4,8} = -\frac{1}{4} = -0,25.
Da segunda:
-5,2\,y = 4,2 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-4,2}{5,2} = -\frac{21}{26} \approx -0,807692\ldots
Logo o ponto de estagnação é
\bigl(x_s,y_s\bigr)=\Bigl(-\tfrac{1}{4},\; -\tfrac{21}{26}\Bigr)\approx(-0,25,\,-0,8077).
Observação: esse ponto tem y<0\], portanto está fora do retângulo pedido para a plotagem (\(y\in[0,2]).]

Passo 5

(d) Campo de aceleração — definição, escolha do termo e cálculo.
A aceleração material (total) de uma partícula no escoamento é
\vec{a} = \frac{\partial\vec{V}}{\partial t} + \bigl(\vec{V}\cdot\nabla\bigr)\vec{V}.
Como o escoamento é permanente (Passo 2), \partial\vec{V}/\partial t=\vec{0} e resta apenas o termo convectivo
\vec{a} = \bigl(\vec{V}\cdot\nabla\bigr)\vec{V}.
Escrevendo em componentes (convencionalmente)
a_x = u\,\frac{\partial u}{\partial x} + v\,\frac{\partial u}{\partial y},\qquad a_y = u\,\frac{\partial v}{\partial x} + v\,\frac{\partial v}{\partial y}.
Já calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x}=4,8,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=-5,2.
Substituindo:
a_x = u\cdot 4,8 + v\cdot 0 = 4,8\,u = 4,8\bigl(1,2+4,8\,x\bigr).
Multiplicando os termos:
4,8\cdot 1,2 = 5,76,\qquad 4,8\cdot 4,8 = 23,04,
logo
a_x = 5,76 + 23,04\,x.
Para a_y:
a_y = u\cdot 0 + v\cdot(-5,2) = -5,2\,v = -5,2\bigl(-4,2-5,2\,y\bigr).
Multiplicando:
-5,2\cdot(-4,2)=21,84,\qquad -5,2\cdot(-5,2) = 27,04,
portanto
a_y = 21,84 + 27,04\,y.
Assim o campo de aceleração é
\vec{a}(x,y) = \bigl(5,76 + 23,04\,x\bigr)\,\hat{\mathrm{i}} + \bigl(21,84 + 27,04\,y\bigr)\,\hat{\mathrm{j}}.

Passo 6

(e) Representação gráfica do campo para x\in[-2,2], y\in[0,2] — instruções, amostras e interpretação qualitativa.
Como boa prática para desenhar um campo de velocidades, escolhe-se uma grade de pontos e plota-se um vetor \vec{V}(x,y) em cada ponto com origem no ponto. Vou fornecer valores em uma grade pequena (valores calculados explicitamente) que permitem desenhar o campo à mão ou com um software:
Fórmulas usadas para calcular cada vetor:
u(x,y)=1,2+4,8\,x,\qquad v(x,y)=-4,2-5,2\,y.
Tabela de vetores em pontos (x,y) com x=-2,-1,0,1,2 e y=0,1,2:
  • y=0:
    • \vec{V}(-2,0)=\bigl(-8,4,\;-4,2\bigr) porque u=-8,4, v=-4,2.
    • \vec{V}(-1,0)=\bigl(-3,6,\;-4,2\bigr).
    • \vec{V}(0,0)=\bigl(1,2,\;-4,2\bigr).
    • \vec{V}(1,0)=\bigl(6,0,\;-4,2\bigr).
    • \vec{V}(2,0)=\bigl(10,8,\;-4,2\bigr).
  • y=1:
    • \vec{V}(-2,1)=\bigl(-8,4,\;-9,4\bigr).
    • \vec{V}(-1,1)=\bigl(-3,6,\;-9,4\bigr).
    • \vec{V}(0,1)=\bigl(1,2,\;-9,4\bigr).
    • \vec{V}(1,1)=\bigl(6,0,\;-9,4\bigr).
    • \vec{V}(2,1)=\bigl(10,8,\;-9,4\bigr).
  • y=2:
    • \vec{V}(-2,2)=\bigl(-8,4,\;-14,6\bigr).
    • \vec{V}(-1,2)=\bigl(-3,6,\;-14,6\bigr).
    • \vec{V}(0,2)=\bigl(1,2,\;-14,6\bigr).
    • \vec{V}(1,2)=\bigl(6,0,\;-14,6\bigr).
    • \vec{V}(2,2)=\bigl(10,8,\;-14,6\bigr).
Como interpretar e desenhar:
  • Todas as componentes v são negativas no intervalo y\in[0,2] (pois v=-4,2-5,2y\le-4,2), então todas as setas apontam para baixo em toda a região.
  • A componente u varia linearmente com x: é negativa para x<-0,25 (setas para a esquerda), nula em x=-0,25 (ponto de estagnação em x, mas esse ponto tem y<0 no nosso caso) e positiva para x>-0,25 (setas para a direita).
  • Em x=-2 as setas têm grande componente horizontal negativa (ex.: -8,4); em x=2 grande componente horizontal positiva (ex.: 10,8). Em y maior, a componente vertical é mais negativa (setas mais “para baixo”).
Sugestão prática de plotagem (rápida orientação, sem código obrigatório):
  • Escolher uma grade (por exemplo 11×11 pontos uniformes em x\in[-2,2] e y\in[0,2]).
  • Calcular \vec{V} em cada nó usando as fórmulas acima.
  • Desenhar setas com origem em cada nó; se quiser visualizar melhor, normalizar as setas (ou usar escala automática) para evitar que vetores muito grandes “enganem” a leitura.
  • Verá um padrão de fluxo com setas descendentes (componente v<0), que à esquerda têm inclinação para a esquerda e à direita inclinação para a direita, com transição de sentido horizontal perto de x\approx-0,25.

Resposta

(a) Permanente (steady), pois não há dependência temporal em \vec{V}(x,y).
(b) \vec{\xi}=\nabla\times\vec{V}=\vec{0}.
(c) Ponto de estagnação: \displaystyle\bigl(x_s,y_s\bigr)=\Bigl(-\tfrac{1}{4},\; -\tfrac{21}{26}\Bigr)\approx(-0,25,\,-0,8077).
(d) Campo de aceleração:
\vec{a}(x,y)=\bigl(5,76 + 23,04\,x\bigr)\,\hat{\mathrm{i}} + \bigl(21,84 + 27,04\,y\bigr)\,\hat{\mathrm{j}}.
(e) Valores amostrais na grade x=-2,-1,0,1,2 e y=0,1,2 (para plot):
\begin{aligned} y=0:&\quad \vec{V}(-2,0)=(-8,4,\,-4,2),\\ \vec{V}(-1,0)=(-3,6,\,-4,2),\\\ &\quad \vec{V}(0,0)=(1,2,\,-4,2),\\ \vec{V}(1,0)=(6,0,\,-4,2),\\ \vec{V}(2,0)=(10,8,\,-4,2);\\\ y=1:&\quad \vec{V}(-2,1)=(-8,4,\,-9,4),\\ \vec{V}(-1,1)=(-3,6,\,-9,4),\\\ &\quad \vec{V}(0,1)=(1,2,\,-9,4),\\ \vec{V}(1,1)=(6,0,\,-9,4),\\ \vec{V}(2,1)=(10,8,\,-9,4);\\\ y=2:&\quad \vec{V}(-2,2)=(-8,4,\,-14,6),\\ \vec{V}(-1,2)=(-3,6,\,-14,6),\\\ &\quad \vec{V}(0,2)=(1,2,\,-14,6),\\ \vec{V}(1,2)=(6,0,\,-14,6),\\ \vec{V}(2,2)=(10,8,\,-14,6). \end{aligned}

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