Seja o campo de velocidades bidimensional dado por:
(a) Esse campo de velocidades está em regime permanente ou transiente? Justifique.
(b) Calcule o rotacional
desse campo.
(c) Quais as coordenadas do ponto de estagnação desse campo?
(d) Determine o campo de aceleração desse escoamento.
(e) Represente graficamente esse campo para
e
.
(b) Calcule o rotacional
(c) Quais as coordenadas do ponto de estagnação desse campo?
(d) Determine o campo de aceleração desse escoamento.
(e) Represente graficamente esse campo para
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de velocidades bidimensional (usei vírgula como separador decimal, conforme está escrito):
As perguntas são:
(a) indicar se o escoamento é permanente (steady) ou transiente (unsteady) e justificar;
(b) calcular o rotacional ;
(c) encontrar as coordenadas do ponto de estagnação (se houver);
(d) determinar o campo de aceleração desse escoamento;
(e) representar graficamente o campo para e
.
(a) indicar se o escoamento é permanente (steady) ou transiente (unsteady) e justificar;
(b) calcular o rotacional
(c) encontrar as coordenadas do ponto de estagnação (se houver);
(d) determinar o campo de aceleração desse escoamento;
(e) representar graficamente o campo para
Informações extraídas do enunciado úteis para a resolução:
- Componente horizontal (velocidade em
): . - Componente vertical (velocidade em
): . - Não há dependência explícita do tempo no enunciado.
- Região de plotagem pedida:
, .
Passo 2
(a) Regime permanente ou transiente — explicação e resposta.
Definição prática: um escoamento é permanente (steady) quando o campo de velocidades não depende do tempo; isto é, a derivada local
é nula. Se houver dependência explícita em
, o escoamento é transiente.
No problema o campo
foi fornecido sem nenhuma dependência em
(aparecem só
e
). Logo
portanto o escoamento é permanente (steady).
Passo 3
(b) Cálculo do rotacional
.
Em coordenadas cartesianas 2D (campo plano
), o rotacional é um vetor cujo único componente não nulo (direção
) é
Calculemos as derivadas parciais usando as expressões extraídas:
Portanto
Como as componentes
e
do rotacional são nulas para um campo 2D sem dependência em
, o rotacional completo é o vetor nulo:
Interpretação rápida: o escoamento é irrotacional (não tem vorticidade local).
Passo 4
(c) Ponto de estagnação — definição e cálculo.
Definição: ponto de estagnação é o ponto [(x,y)) onde a velocidade é nula, isto é
e
simultaneamente.
Resolva o sistema
Da primeira equação:
Da segunda:
Logo o ponto de estagnação é
Observação: esse ponto tem
).]
Passo 5
(d) Campo de aceleração — definição, escolha do termo e cálculo.
A aceleração material (total) de uma partícula no escoamento é
Como o escoamento é permanente (Passo 2),
e resta apenas o termo convectivo
Escrevendo em componentes (convencionalmente)
Já calculamos as derivadas parciais:
Substituindo:
Multiplicando os termos:
logo
Para
:
Multiplicando:
portanto
Assim o campo de aceleração é
Passo 6
(e) Representação gráfica do campo para
,
— instruções, amostras e interpretação qualitativa.
Como boa prática para desenhar um campo de velocidades, escolhe-se uma grade de pontos e plota-se um vetor
em cada ponto com origem no ponto. Vou fornecer valores em uma grade pequena (valores calculados explicitamente) que permitem desenhar o campo à mão ou com um software:
Fórmulas usadas para calcular cada vetor:
Tabela de vetores em pontos
com
e
:
-
: -
porque , . -
. -
. -
. -
.
-
-
: -
. -
. -
. -
. -
.
-
-
: -
. -
. -
. -
. -
.
-
Como interpretar e desenhar:
- Todas as componentes
são negativas no intervalo (pois ), então todas as setas apontam para baixo em toda a região. - A componente
varia linearmente com : é negativa para (setas para a esquerda), nula em (ponto de estagnação em , mas esse ponto tem no nosso caso) e positiva para (setas para a direita). - Em
as setas têm grande componente horizontal negativa (ex.: ); em grande componente horizontal positiva (ex.: ). Em maior, a componente vertical é mais negativa (setas mais “para baixo”).
Sugestão prática de plotagem (rápida orientação, sem código obrigatório):
- Escolher uma grade (por exemplo 11×11 pontos uniformes em
e ). - Calcular
em cada nó usando as fórmulas acima. - Desenhar setas com origem em cada nó; se quiser visualizar melhor, normalizar as setas (ou usar escala automática) para evitar que vetores muito grandes “enganem” a leitura.
- Verá um padrão de fluxo com setas descendentes (componente
), que à esquerda têm inclinação para a esquerda e à direita inclinação para a direita, com transição de sentido horizontal perto de .
Resposta
(a) Permanente (steady), pois não há dependência temporal em
.
(b)
(c) Ponto de estagnação:
(d) Campo de aceleração:
(b)
(c) Ponto de estagnação:
(d) Campo de aceleração:
(e) Valores amostrais na grade
e
(para plot):