Calcule (sin 0,15) e (sin 0,3), com o ângulo em radianos, utilizando série de Taylor em torno de 0 , com uma aproximação de (ii) uma aproximação de terceira ordem. (iii) Compare com os resultados aproximados com o resultado exato.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular sin(0,15) e sin(0,3) usando a série de Taylor expandida em torno de 0, ou seja, uma aproximação de terceira ordem. Depois, vamos comparar esses resultados com os valores exatos. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor para a função seno em torno de 0. A série de Taylor para sin(x) é:
sin(x) = x - x^33! + x^55! - x^77! + dots
Como queremos uma aproximação de terceira ordem, vamos considerar apenas os dois primeiros termos da série:
sin(x) approx x - x^36

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa aproximação para x = 0,15 radianos. Substituindo na fórmula:
sin(0,15) approx 0,15 - (0,15)^36
Calculando 0,15^3:
0,15^3 = 0,003375
Então:
sin(0,15) approx 0,15 - 0,0033756 = 0,15 - 0,0005625 = 0,1494375

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para x = 0,3 radianos:
sin(0,3) approx 0,3 - (0,3)^36
Calculando 0,3^3:
0,3^3 = 0,027
Então:
sin(0,3) approx 0,3 - 0,0276 = 0,3 - 0,0045 = 0,2955

Passo 5

Agora, vamos comparar essas aproximações com os valores exatos usando uma calculadora:
sin(0,15) approx 0,149438
sin(0,3) approx 0,295520

Resposta

Usando a série de Taylor de terceira ordem, encontramos que:
sin(0,15) approx 0,1494375 (exato: 0,149438)
sin(0,3) approx 0,2955 (exato: 0,295520)
As aproximações estão muito próximas dos valores exatos!

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