Seja o campo vetorial
dado por
. Seja
a curva parametrizada pela funçâo
dada por
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial $ F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ definido por $ F(x, y) = (x y^2, x^2 y) $ e uma curva $ c $ parametrizada pela função $ r(t) = \left(t^3 - 2t + \sin^2(2\pi t), t^3 + 2t\right) $ para $ t $ entre 0 e 1. O objetivo é calcular a integral de linha $ \int_{c} F \cdot dr $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial $ F $ é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que $ F = \nabla \phi $, ou seja, $ F = \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}\right) $. Além disso, para que $ F $ seja conservativo, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais, ou seja, $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $, o campo $ F $ é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que $ F = \nabla \phi $.
Passo 4
Vamos encontrar a função potencial $ \phi(x, y) $:
Agora, como $ \frac{\partial \phi}{\partial y} = Q $:
Isso implica que $ h’(y) = 0 $, portanto, $ h(y) $ é uma constante. Podemos ignorar essa constante, então:
Passo 5
Para calcular a integral de linha, usamos a função potencial nos pontos finais da curva $ c $. Primeiro, vamos encontrar $ r(0) $ e $ r(1) $:
Agora, calculamos $ \phi $ nesses pontos:
Então, a integral de linha é:
Resposta
O valor da integral é $ \frac{9}{2} $.