Seja o campo vetorial F: R^2 R^2 dado por F(x, y)=(x y^2, x^2 y). Seja c a curva parametrizada pela funçâo r:[0,1] R^2 dada por r(t)=(t^3-2 t+sen^2(2 pi t), t^3+2 t). Calcule integralc F cdot d r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial $ F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ definido por $ F(x, y) = (x y^2, x^2 y) $ e uma curva $ c $ parametrizada pela função $ r(t) = \left(t^3 - 2t + \sin^2(2\pi t), t^3 + 2t\right) $ para $ t $ entre 0 e 1. O objetivo é calcular a integral de linha $ \int_{c} F \cdot dr $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial $ F $ é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que $ F = \nabla \phi $, ou seja, $ F = \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}\right) $. Além disso, para que $ F $ seja conservativo, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais, ou seja, $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
P(x, y) = x y^2 e Q(x, y) = x^2 y
partial Ppartial y = 2xy e partial Qpartial x = 2xy
Como $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $, o campo $ F $ é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que $ F = \nabla \phi $.

Passo 4

Vamos encontrar a função potencial $ \phi(x, y) $:
phi(x, y)
Agora, como $ \frac{\partial \phi}{\partial y} = Q $:
phi(x, y) = integral P , dx = integral x y^2 , dx = 12x^2 y^2 + h(y)
Isso implica que $ h’(y) = 0 $, portanto, $ h(y) $ é uma constante. Podemos ignorar essa constante, então:
partial phipartial y = Q

Passo 5

Para calcular a integral de linha, usamos a função potencial nos pontos finais da curva $ c $. Primeiro, vamos encontrar $ r(0) $ e $ r(1) $:
c
r(0)
Agora, calculamos $ \phi $ nesses pontos:
r(1)
r(0) = (0^3 - 2 cdot 0 + sin^2(0), 0^3 + 2 cdot 0) = (0, 0)
Então, a integral de linha é:
r(1) = (1^3 - 2 cdot 1 + sin^2(2pi cdot 1), 1^3 + 2 cdot 1) = (-1 + 0, 3) = (-1, 3)

Resposta

O valor da integral é $ \frac{9}{2} $.

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