Seja um campo vetorial diferenciável definido no subconjunto aberto , tal que . Suponha que , onde gamma:(x+2)^2+y^2=1 e ointeta F cdot d eta=9, onde eta:(x-2)^2+y^2=1. Calcule ointxi F cdot d gamma, onde xi: x^2+y^2=16.
10. Seja Omega a região interior à elipse x^225+y^29=1 e exterior à circunferência x^2+y^2=4. Calcule a integral de linha
I=integralgamma(2 x y+e^x^2) d x+(x^2+2 x+cos (y^2)) d y
onde gamma é a fronteira de Omega orientada positivamente.
Passo 1
Estamos diante de duas integrais de linha em que podemos explorar propriedades de campos conservativos e o Teorema de Green.
No primeiro problema temos um campo vec F=P,dx+Q,dy definido em U= R^2setminus(-2,0),(2,0) e satisfaz partial Ppartial y=partial Qpartial x. Sabemos que ointgammavec Fcdot dgamma=6 para o círculo gamma:(x+2)^2+y^2=1 e ointetavec Fcdot deta=9 para o círculo eta:(x-2)^2+y^2=1. Queremos ointxivec Fcdot dgamma em xi:x^2+y^2=16.
No segundo problema definimos Omega como a região entre a elipse tfracx^225+tfracy^29=1 e o círculo x^2+y^2=4. A curva gamma é a fronteira de Omega, orientada positivamente, e o campo é
P(x,y)=2xy+e^x^2, Q(x,y)=x^2+2x+cos(y^2)
Pedem I=integralgamma P,dx+Q,dy. Para isso usaremos o Teorema de Green e fórmulas de área.
Passo 2
Para o círculo xi:x^2+y^2=16, note que ele engloba ambos os pontos (-2,0) e (2,0). Como vec F é conservativo em U (ou seja, localmente sem circulação), toda circulação em xi vem da soma das circulações em torno dos furos isolados. Pela propriedade de aditividade de integrais em caminhos que não se intersectam, temos