Seja F=P d x+Q d y um campo vetorial diferenciável definido no subconjunto aberto U=R^2 backslash(-2,0),(2,0), tal que partial Ppartial y=partial Qpartial x. Suponha que ointgamma F cdot d gamma=6, onde gamma:(x+2)^2+y^2=1 e ointeta F cdot d eta=9, onde eta:(x-2)^2+y^2=1. Calcule ointxi F cdot d gamma, onde xi: x^2+y^2=16.
10. Seja Omega a região interior à elipse x^225+y^29=1 e exterior à circunferência x^2+y^2=4. Calcule a integral de linha
I=integralgamma(2 x y+e^x^2) d x+(x^2+2 x+cos (y^2)) d y
onde gamma é a fronteira de Omega orientada positivamente.

Passo 1

Estamos diante de duas integrais de linha em que podemos explorar propriedades de campos conservativos e o Teorema de Green.
  1. No primeiro problema temos um campo vec F=P,dx+Q,dy definido em U= R^2setminus(-2,0),(2,0) e satisfaz partial Ppartial y=partial Qpartial x. Sabemos que ointgammavec Fcdot dgamma=6 para o círculo gamma:(x+2)^2+y^2=1 e ointetavec Fcdot deta=9 para o círculo eta:(x-2)^2+y^2=1. Queremos ointxivec Fcdot dgamma em xi:x^2+y^2=16.
  2. No segundo problema definimos Omega como a região entre a elipse tfracx^225+tfracy^29=1 e o círculo x^2+y^2=4. A curva gamma é a fronteira de Omega, orientada positivamente, e o campo é
P(x,y)=2xy+e^x^2, Q(x,y)=x^2+2x+cos(y^2)
Pedem I=integralgamma P,dx+Q,dy. Para isso usaremos o Teorema de Green e fórmulas de área.

Passo 2

Para o círculo xi:x^2+y^2=16, note que ele engloba ambos os pontos (-2,0) e (2,0). Como vec F é conservativo em U (ou seja, localmente sem circulação), toda circulação em xi vem da soma das circulações em torno dos furos isolados. Pela propriedade de aditividade de integrais em caminhos que não se intersectam, temos
ointxivec Fcdot dgamma = ointgammavec Fcdot dgamma + ointetavec Fcdot deta =6+9=15

Passo 3

Agora tratamos da curva gamma=partialOmega orientada positivamente, delimitando a região entre a elipse e o círculo. O Teorema de Green diz que
integralgammaP,dx+Q,dy =integral duplaOmegal(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =2x+2, partial Ppartial y =2x,
logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =(2x+2)-2x=2

Passo 4

Portanto
I =integral duplaOmega2,dA =2cdotl(área da elipse;-;área do círculo de raio 2r) ááí
A elipse x^225+y^29<=1 tem área picdot5cdot3=15pi. O círculo x^2+y^2<=4 tem área 4pi. Assim a área de Omega é 15pi-4pi=11pi.

Resposta

ointxivec Fcdot dgamma = 15, I=integralgamma(2xy+e^x^2),dx+(x^2+2x+cos(y^2)),dy = 22pi

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