Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=0^infty (-1)^n+1n ln n

Passo 1

Resumindo o enunciado, precisamos testar a convergência da série
sumn=0^infty(-1)^n+1nln n.
O conteúdo envolve séries alternadas (critério de Leibniz) e teste de convergência absoluta (teste da integral).

Passo 2

Observação do índice: em n=0 e n=1 o termo ln n é zero ou indefinido, então na prática começamos a soma em n=2. Definimos
an = 1nln n,
que é positivo para n>=2. Como ln n cresce com n, an é decrescente. Além disso,
limntoinftyan = limntoinfty1nln n = 0
Pelo critério de Leibniz para séries alternadas, a série
sumn=2^infty(-1)^n+1an converge.

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, analisamos
sumn=2^inftyl|(-1)^n+1anr| = sumn=2^infty1nln n
Aplicamos o teste da integral:
integral2^inftydxxln x = limttoinftyl[lnl(ln xr)r]2^t = limttoinftyl(ln(ln t)-ln(ln 2)r) = infty
Como a integral diverge, a série de valores absolutos diverge, ou seja, não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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