Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=0^infty 3^n n^2n!

Passo 1

O enunciado pede o teste de convergência da série
sumn=0^infty 3^n n^2n!.
Esse é um problema de séries numéricas e vamos usar o teste da razão para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos
an = 3^n n^2n!
e aplicamos o teste da razão, que exige o cálculo do limite
L = limntoinfty |an+1an|

Passo 3

Substituindo an e an+1 temos
an+1an = 3^n+1,(n+1)^2/(n+1)! 3^n,n^2/n! = 3 ;(n+1)^2n^2;n!(n+1)! = 3 ;(n+1)^2n^2;1n+1 = 3 ;n+1n^2

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty 3 ,n+1n^2 = 3 ,limntoinfty 1 + 1/nn = 3 times 0 = 0
Como L < 1, o teste da razão conclui que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=0^infty 3^n n^2n! converge absolutamente, portanto ela converge.

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