Use a definição formal ( integral0^+infty e^-s t f(t) d t ) para calcular:
(L(e^-a t))(s)=?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para calcular a transformada de Laplace de uma função específica, que é $ e^{-a t} $. A matéria que estamos vendo é Transformada de Laplace, e para resolver isso, a gente vai usar a definição formal da transformada de Laplace, que é:
e^-a t
Então, vamos aplicar essa definição para a função $ f(t) = e^{-a t} $.

Passo 2

Primeiro, substituímos $ f(t) $ na definição da transformada de Laplace. Ficaria assim:
f(t)
Agora, a gente observa que os dois expoentes com $ t $ podem ser combinados.

Passo 3

Vamos combinar os expoentes. Usando a regra das potências que diz que $ e^{x} \cdot e^{y} = e^{x+y} $, temos:
e^x cdot e^y = e^x+y
Então, a integral fica:
e^-s t cdot e^-a t = e^-(s + a)t

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
integral0^+infty e^-(s + a)t , dt
Essa é uma integral básica de função exponencial. A integral de $ e^{-kt} $ de 0 a $ +\infty $ é $ \frac{1}{k} $, desde que $ k > 0 $.

Passo 5

Aplicando essa regra, onde $ k = s + a $:
k = s + a
Mas é importante lembrar que essa solução vale apenas se $ s + a > 0 $, ou seja, $ s > -a $.

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de $ e^{-a t} $ é:
e^-a t

Exercícios relacionados