Use a definição formal
para calcular:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para calcular a transformada de Laplace de uma função específica, que é $ e^{-a t} $. A matéria que estamos vendo é Transformada de Laplace, e para resolver isso, a gente vai usar a definição formal da transformada de Laplace, que é:
Então, vamos aplicar essa definição para a função $ f(t) = e^{-a t} $.
Passo 2
Primeiro, substituímos $ f(t) $ na definição da transformada de Laplace. Ficaria assim:
Agora, a gente observa que os dois expoentes com $ t $ podem ser combinados.
Passo 3
Vamos combinar os expoentes. Usando a regra das potências que diz que $ e^{x} \cdot e^{y} = e^{x+y} $, temos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral:
Essa é uma integral básica de função exponencial. A integral de $ e^{-kt} $ de 0 a $ +\infty $ é $ \frac{1}{k} $, desde que $ k > 0 $.
Passo 5
Aplicando essa regra, onde $ k = s + a $:
Mas é importante lembrar que essa solução vale apenas se $ s + a > 0 $, ou seja, $ s > -a $.
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace de $ e^{-a t} $ é: