Determine o valor da integral iterada
, onde
, com precisão de no mínimo três casas decimais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver uma integral dupla:
onde a região $ R $ está definida pelos intervalos $ r $ de 0 a 1 e $ \theta $ de 0 a $ \pi $. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso. Vou te guiar passo a passo para que fique bem tranquilo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral dupla. Basicamente, estamos somando os valores da função $ \operatorname{sen}(r \theta) $ em um retângulo definido por $ 0 \leq r \leq 1 $ e $ 0 \leq \theta \leq \pi $.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a $ \theta $:
Aqui, $ r $ é tratado como uma constante durante essa integração.
Passo 4
Para integrar $ \operatorname{sen}(r \theta) $ em relação a $ \theta $, fazemos uma substituição:
Seja $ u = r \theta $, então $ du = r , d\theta $ ou $ d\theta = \frac{du}{r} $.
Quando $ \theta = 0 $, $ u = 0 $; e quando $ \theta = \pi $, $ u = r \pi $.
A integral se torna:
Passo 5
Integrando $ \operatorname{sen}(u) $:
Sabemos que $ \operatorname{cos}(0) = 1 $, então:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral dupla original:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Passo 7
A primeira integral, $ \int \frac{1}{r} , dr $, é a integral do logaritmo natural:
No entanto, quando $ r $ se aproxima de 0, $ \ln® $ tende ao infinito negativo. Mas, de fato, a combinação das duas integrais resulta em um valor finito.
Passo 8
A segunda integral envolve a função cosseno dividida por $ r $, que está relacionada à Integral Cosseno, denotada por $ \operatorname{Ci}(x) $:
Portanto, a nossa integral fica:
Passo 9
Para encontrar o valor numérico, usamos valores conhecidos:
- $ \ln(\pi) \approx 1.144425 $
- $ \operatorname{Ci}(\pi) \approx -0.122162 $
Substituindo:
Resposta
A integral vale aproximadamente 1,267.