Determine o valor da integral iterada integralegral duplaR sen(r theta) d theta dr, onde R=[0, pi] times[0,1], com precisão de no mínimo três casas decimais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver uma integral dupla:
integral duplaR sen(r theta) , dtheta , dr
onde a região $ R $ está definida pelos intervalos $ r $ de 0 a 1 e $ \theta $ de 0 a $ \pi $. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso. Vou te guiar passo a passo para que fique bem tranquilo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral dupla. Basicamente, estamos somando os valores da função $ \operatorname{sen}(r \theta) $ em um retângulo definido por $ 0 \leq r \leq 1 $ e $ 0 \leq \theta \leq \pi $.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a $ \theta $:
theta
Aqui, $ r $ é tratado como uma constante durante essa integração.

Passo 4

Para integrar $ \operatorname{sen}(r \theta) $ em relação a $ \theta $, fazemos uma substituição:
Seja $ u = r \theta $, então $ du = r , d\theta $ ou $ d\theta = \frac{du}{r} $.
Quando $ \theta = 0 $, $ u = 0 $; e quando $ \theta = \pi $, $ u = r \pi $.
A integral se torna:
sen(r theta)

Passo 5

Integrando $ \operatorname{sen}(u) $:
sen(u)
Sabemos que $ \operatorname{cos}(0) = 1 $, então:
1r [ -cos(u) ]0^r pi = 1r ( -cos(r pi) + cos(0) )

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral dupla original:
integral0^1 1 - cos(r pi)r , dr
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
integral0^1 1r , dr - integral0^1 cos(r pi)r , dr

Passo 7

A primeira integral, $ \int \frac{1}{r} , dr $, é a integral do logaritmo natural:
integral 1r , dr
No entanto, quando $ r $ se aproxima de 0, $ \ln® $ tende ao infinito negativo. Mas, de fato, a combinação das duas integrais resulta em um valor finito.

Passo 8

A segunda integral envolve a função cosseno dividida por $ r $, que está relacionada à Integral Cosseno, denotada por $ \operatorname{Ci}(x) $:
r
Portanto, a nossa integral fica:
Ci(x)

Passo 9

Para encontrar o valor numérico, usamos valores conhecidos:
  • $ \ln(\pi) \approx 1.144425 $
  • $ \operatorname{Ci}(\pi) \approx -0.122162 $
Substituindo:
ln(pi) approx 1.144425

Resposta

A integral vale aproximadamente 1,267.

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