Seja o campo vetorial
\overrightarrow{\mathbf{F}}=\left(y^{2} \sin z\right) \vec{i}+(2 x y \sin z) \vec{j}+\left(x y^{2} \cos z\right) \vec{k}
a) Mostre que \overrightarrow{\mathbf{F}} é conservativo e encontre \varphi(x, y, z) tal que \overrightarrow{\mathbf{F}}=\nabla \varphi.
b) Calclule \int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}} onde A(0,0,0), B\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) de duas maneiras:
b. 1) Usando o potencial \varphi do item a.
b.2) Por cálculo direto ao longo do segmento de reta que liga A a B.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o campo vetorial \overrightarrow{\mathbf{F}}=(y^{2}\sin z)\mathbf{i}+(2xy\sin z)\mathbf{j}+(xy^{2}\cos z)\mathbf{k}.
No item (a) vamos mostrar que \overrightarrow{\mathbf{F}} é conservativo e encontrar um potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\overrightarrow{\mathbf{F}}.
No item (b) precisamos calcular \displaystyle \int_{A}^{B}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\mathbf{r}
entre A=(0,0,0) e B=(\tfrac\pi2,\tfrac\pi2,\tfrac\pi2)
b.1) usando o potencial e
b.2) diretamente ao longo da reta que liga A a B.

Passo 2

Para mostrar que \overrightarrow{\mathbf{F}} é conservativo num domínio simplesmente conexo, basta verificar que \nabla\times\overrightarrow{\mathbf{F}}=0. Calculamos as três componentes do rotacional:
\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}\cos z) -\frac{\partial}{\partial z}(2xy\sin z) =2xy\cos z-2xy\cos z=0,
\frac{\partial}{\partial z}(y^{2}\sin z) -\frac{\partial}{\partial x}(xy^{2}\cos z) =y^{2}\cos z-y^{2}\cos z=0,
\frac{\partial}{\partial x}(2xy\sin z) -\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}\sin z) =2y\sin z-2y\sin z=0.
Logo \nabla\times\overrightarrow{\mathbf{F}}=0, logo o campo é conservativo.

Passo 3

Para encontrar o potencial \varphi, integramos em x:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=y^{2}\sin z \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y,z)=x\,y^{2}\sin z+g(y,z).
Depois, exigimos
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =2xy\sin z+g_{y}(y,z) \overset!=2xy\sin z \quad\Longrightarrow\quad g_{y}=0\;\Longrightarrow\;g=g(z).
Por fim,
\frac{\partial\varphi}{\partial z} =xy^{2}\cos z+g'(z) \overset!=xy^{2}\cos z \quad\Longrightarrow\quad g'(z)=0\;\Longrightarrow\;g=\text{constante}.
Podemos tomar essa constante igual a zero. Assim
\varphi(x,y,z)=x\,y^{2}\sin z.

Passo 4

Usando o potencial, a integral de linha é
\int_{A}^{B}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\mathbf{r} =\varphi(B)-\varphi(A) =\varphi\bigl(\tfrac\pi2,\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr) -\varphi(0,0,0) =\frac\pi2\Bigl(\frac\pi2\Bigr)^{2}\sin\!\frac\pi2 =\frac{\pi^{3}}{8}.

Passo 5

Pelo cálculo direto, parametrize a reta por \mathbf{r}(t)=(t,t,t), 0\le t\le \tfrac\pi2. Então
d\mathbf{r}=(1,1,1)\,dt, \quad \overrightarrow{\mathbf{F}}(\mathbf{r}(t)) =(t^{2}\sin t,\;2t^{2}\sin t,\;t^{3}\cos t).
O produto escalar é
\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\mathbf{r} =(3t^{2}\sin t+t^{3}\cos t)\,dt.
Fazendo integração por partes em \int_{0}^{\pi/2}t^{3}\cos t\,dt nota-se que o termo \int3t^{2}\sin t\,dt se cancela, sobrando
\int_{0}^{\pi/2}(3t^{2}\sin t+t^{3}\cos t)\,dt =\bigl[t^{3}\sin t\bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{\pi^{3}}{8}.
Confirma-se o mesmo resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{3}}{8}

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