Seja o campo vetorial
a) Mostre que
é conservativo e encontre
tal que
.
b) Calclule
onde
de duas maneiras:
b. 1) Usando o potencial
do item
.
b.2) Por cálculo direto ao longo do segmento de reta que liga
a
.
b) Calclule
b. 1) Usando o potencial
b.2) Por cálculo direto ao longo do segmento de reta que liga
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o campo vetorial
.
No item (a) vamos mostrar que é conservativo e encontrar um potencial
tal que
.
No item (b) precisamos calcular
entre e
b.1) usando o potencial e
b.2) diretamente ao longo da reta que liga a
.
No item (a) vamos mostrar que
No item (b) precisamos calcular
entre
b.1) usando o potencial e
b.2) diretamente ao longo da reta que liga
Passo 2
Para mostrar que
é conservativo num domínio simplesmente conexo, basta verificar que
. Calculamos as três componentes do rotacional:
Logo
, logo o campo é conservativo.
Passo 3
Para encontrar o potencial
, integramos em
:
Depois, exigimos
Por fim,
Podemos tomar essa constante igual a zero. Assim
Passo 4
Usando o potencial, a integral de linha é
Passo 5
Pelo cálculo direto, parametrize a reta por
,
. Então
O produto escalar é
Fazendo integração por partes em
nota-se que o termo
se cancela, sobrando
Confirma-se o mesmo resultado.