Calcule o fluxo do campo vetorial
através da parte da esféra
no primeiro octante
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através de
, parte da esfera
no primeiro octante. Vamos usar integral de superfície em coordenadas esféricas.
Passo 2
Para a esfera de raio
, o vetor normal unitário é
. Assim o elemento de área vetorial é
, e o fluxo é
Passo 3
Parametrizamos
em coordenadas esféricas:
com
e
. O elemento de área é
Passo 4
Substituindo, temos
e portanto
Multiplicando por
, o integrando da superfície é
Passo 5
Escrevemos o fluxo como soma de dois integrais:
Passo 6
Calcular
:
logo
Passo 7
Calcular
: fazemos
, de modo que
então
e, concluindo,
Resposta
O fluxo vale
.