Calcule o fluxo do campo vetorial
\overrightarrow{\mathbf{F}}=y \vec{i}+z \vec{j}+x \vec{k}
através da parte da esféra x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 no primeiro octante x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \overrightarrow{\mathbf{F}} = y\vec{i} + z\vec{j} + x\vec{k} através de S, parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 no primeiro octante. Vamos usar integral de superfície em coordenadas esféricas.

Passo 2

Para a esfera de raio 1, o vetor normal unitário é \mathbf{n}=(x,y,z). Assim o elemento de área vetorial é \mathbf{n}\,dS = (x,y,z)\,dS, e o fluxo é
\iint_{S}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{S}(y,z,x)\cdot(x,y,z)\,dS = \iint_{S}\bigl(xy+yz+zx\bigr)\,dS.

Passo 3

Parametrizamos S em coordenadas esféricas:
x = \sin\varphi\cos\theta,\quad y = \sin\varphi\sin\theta,\quad z = \cos\varphi
com \varphi\in[0,\pi/2] e \theta\in[0,\pi/2]. O elemento de área é
dS = \sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Substituindo, temos
xy = \sin^2\varphi\cos\theta\sin\theta,\quad yz = \sin\varphi\cos\varphi\sin\theta,\quad zx = \sin\varphi\cos\varphi\cos\theta
e portanto
xy+yz+zx = \sin^2\varphi\cos\theta\sin\theta + \sin\varphi\cos\varphi(\sin\theta+\cos\theta)
Multiplicando por dS, o integrando da superfície é
\sin^3\varphi\,\sin\theta\cos\theta + \sin^2\varphi\cos\varphi(\sin\theta+\cos\theta).

Passo 5

Escrevemos o fluxo como soma de dois integrais:
I_1 = \int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\pi/2} \sin^3\varphi\,\sin\theta\cos\theta\,d\theta\,d\varphi, \quad I_2 = \int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\pi/2} \sin^2\varphi\cos\varphi\,(\sin\theta+\cos\theta)\,d\theta\,d\varphi.

Passo 6

Calcular I_1:
\int_{0}^{\pi/2}\sin^3\varphi\,d\varphi = \frac{2}{3}, \quad \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2}
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I_1 = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}.

Passo 7

Calcular I_2: fazemos u=\sin\varphi, de modo que
\int_{0}^{\pi/2}\sin^2\varphi\cos\varphi\,d\varphi = \int_{0}^{1}u^2\,du = \frac{1}{3}, \quad \int_{0}^{\pi/2}(\sin\theta+\cos\theta)\,d\theta = 2
então
I_2 = \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{2}{3}
e, concluindo,
\text{fluxo} = I_1 + I_2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.

Resposta

O fluxo vale 1.

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