Calcule a integral do campo vetorial
\overrightarrow{\mathbf{F}}=z \vec{i}+x \vec{j}+y \vec{k}
ao longo da curva C é interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 e o plano x+y+z=1 de duas maneiras:
3.a) Por cálculo direto:
3.b) Usando o teorema de Stokes.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}=(z,x,y) e C é a interseção do cilindro \,x^{2}+y^{2}=1 com o plano \,x+y+z=1.
Vamos fazer (a) direto por parametrização de C e (b) pelo Teorema de Stokes.

Passo 2

Parametrização direta de C:
Como x^{2}+y^{2}=1, tomo
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad t\in[0,2\pi],
e do plano z=1-x-y vem
z=1-\cos t-\sin t.
Então
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;1-\cos t-\sin t\bigr),
d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt =\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;\sin t-\cos t\bigr)dt.

Passo 3

Computo \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) e o produto escalar:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\bigl(z,\;x,\;y\bigr) =\bigl(1-\cos t-\sin t,\;\cos t,\;\sin t\bigr),
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\bigl(1-\cos t-\sin t\bigr)(-\,\sin t) +\cos t\cdot\cos t +\sin t\,\bigl(\sin t-\cos t\bigr).
Fazendo as operações, chega-se a
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =1 + \sin^{2}t \;-\;\sin t.
Portanto
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}\bigl(1-\sin t+\sin^{2}t\bigr)\,dt =2\pi + 0 + \pi =3\pi.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Stokes:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde S é a parte do plano x+y+z=1 limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=1.
Calcula-se
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl(1,\,1,\,1\bigr).
Como S pode ser visto como gráfico z=1-x-y, temos
\mathbf{n}\,dS =(-f_{x},\,-f_{y},\,1)\,dA =(1,\,1,\,1)\,dA
em projeção ao disco D:\,x^{2}+y^{2}\le1. Então
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D} (1,1,1)\cdot(1,1,1)\,dA =\iint_{D}3\,dA =3\cdot\pi\cdot1^{2} =3\pi.

Resposta

\displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=3\pi

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