Exprimir em coordenadas cilindricas as grandezas:
nabla Phi;

Passo 1

O enunciado pede para expressar o gradiente de um potencial escalar Φ em coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente o operador nabla aplicado a uma função escalar, e vamos precisar conhecer as relações entre as coordenadas cartesianas (x,y,z) e cilíndricas (r,φ,z), bem como as bases unitárias correspondentes.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas o gradiente é dado por
$$\nabla Φ = \hat{\x08oldsymbol{i}},\frac{\partial Φ}{\partial x} + \hat{\boldsymbol{j}},\frac{\partial Φ}{\partial y} + \hat{\boldsymbol{k}},\frac{\partial Φ}{\partial z}.
nabla Φ = x08oldsymboli,partial Φpartial x + j,partial Φpartial y + k,partial Φpartial z íçõ
x = r\cos φ, \quad y = r\sin φ, \quad z = z
x = rcos φ, y = rsin φ, z = z á
\hat{\boldsymbol{r}} = \cos φ,\hat{\boldsymbol{i}} + \sin φ,\hat{\boldsymbol{j}}, \quad
\hat{\boldsymbol{φ}} = -\sin φ,\hat{\boldsymbol{i}} + \cos φ,\hat{\boldsymbol{j}}, \quad
\hat{\boldsymbol{k}} = \hat{\boldsymbol{k}}.
$$

Passo 3

Precisamos também das derivadas parciais em cartesianas escritas em termos de (r,φ). Usando cálculo de cadeias, obtemos
partialpartial x = cos φ,partialpartial r - sin φr,partialpartial φ, partialpartial y = sin φ,partialpartial r + cos φr,partialpartial φ

Passo 4

Agora substituímos essas expressões no gradiente cartesiano e reescrevemos os vetores i e j em termos de r e φ. Após agrupar termos, vemos que só aparecem as componentes nas direções r,φ,k.
O resultado final, obtido ao juntar tudo, é justamente a forma padrão do gradiente em coordenadas cilíndricas: cada derivada parcial aparece multiplicada pelo vetor unitário correspondente e há um fator 1/r na componente azimutal.

Passo 5

A expressão final permite calcular nabla Φ diretamente quando conhecemos a decomposição de Φ(r,φ,z).

Resposta

nabla Φ = r,partial Φpartial r + φ,1r,partial Φpartial φ + k,partial Φpartial z.

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