Exprimir em coordenadas cilindricas as grandezas:
;
Passo 1
O enunciado pede para expressar o gradiente de um potencial escalar Φ em coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente o operador nabla aplicado a uma função escalar, e vamos precisar conhecer as relações entre as coordenadas cartesianas (x,y,z) e cilíndricas (r,φ,z), bem como as bases unitárias correspondentes.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas o gradiente é dado por
$$\nabla Φ = \hat{\x08oldsymbol{i}},\frac{\partial Φ}{\partial x} + \hat{\boldsymbol{j}},\frac{\partial Φ}{\partial y} + \hat{\boldsymbol{k}},\frac{\partial Φ}{\partial z}.
x = r\cos φ, \quad y = r\sin φ, \quad z = z
\hat{\boldsymbol{r}} = \cos φ,\hat{\boldsymbol{i}} + \sin φ,\hat{\boldsymbol{j}}, \quad
\hat{\boldsymbol{φ}} = -\sin φ,\hat{\boldsymbol{i}} + \cos φ,\hat{\boldsymbol{j}}, \quad
\hat{\boldsymbol{k}} = \hat{\boldsymbol{k}}.
\hat{\boldsymbol{φ}} = -\sin φ,\hat{\boldsymbol{i}} + \cos φ,\hat{\boldsymbol{j}}, \quad
\hat{\boldsymbol{k}} = \hat{\boldsymbol{k}}.
$$
Passo 3
Precisamos também das derivadas parciais em cartesianas escritas em termos de (r,φ). Usando cálculo de cadeias, obtemos
Passo 4
Agora substituímos essas expressões no gradiente cartesiano e reescrevemos os vetores
e
em termos de
e
. Após agrupar termos, vemos que só aparecem as componentes nas direções
.
O resultado final, obtido ao juntar tudo, é justamente a forma padrão do gradiente em coordenadas cilíndricas: cada derivada parcial aparece multiplicada pelo vetor unitário correspondente e há um fator na componente azimutal.
O resultado final, obtido ao juntar tudo, é justamente a forma padrão do gradiente em coordenadas cilíndricas: cada derivada parcial aparece multiplicada pelo vetor unitário correspondente e há um fator
Passo 5
A expressão final permite calcular
diretamente quando conhecemos a decomposição de
.