Seja o campo vetorial
. Calcule o fluxo
onde
é uma esfera de raio
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede o fluxo
onde
é a superfície de uma esfera de raio
. Informações relevantes dadas:
- O campo é definido por suas componentes em coordenadas cartesianas: primeira componente
, segunda componente , terceira componente . - A superfície
é uma esfera de raio (presumimos centrada na origem, pois não foi dito o contrário). - Queremos o fluxo total através da superfície fechada (o símbolo
indica superfície fechada).
Passo 2
Escolha do método: como
é uma superfície fechada simples (esfera) que envolve um volume bem conhecido (bola de raio
), o jeito mais prático é usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). Esse teorema transforma a integral de superfície em uma integral tripla sobre o volume interior, o que costuma simplificar muito quando a divergência é fácil de calcular. Vou usar esse método porque evita parametrizar a esfera e o cálculo fica direto.
Passo 3
Enunciando e explicando o Teorema da Divergência:
onde
é o volume limitado por
,
é o vetor normal unitário externo, e
é a divergência de
. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às suas coordenadas:
Aqui
são as componentes do campo
nas direções
.
Passo 4
Calcular a divergência do campo dado. As componentes são
,
,
. Então:
Portanto
Passo 5
Aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo é a integral do volume da divergência:
Escrevo essa integral como soma de três integrais:
Passo 6
Justificando por que os dois últimos integrandos são zero:
e
são funções ímpares em relação à origem ao longo das direções
e
. O volume
(a bola de raio
centrada na origem) é simétrico em relação à origem, ou seja, para cada ponto
no volume existe o ponto
(ou
), e os valores de
(resp.
) nesses pontos têm sinais opostos. Portanto a integral de
sobre
é nula:
e análogamente
(Se quiser ver formalmente: faça a mudança de variável
no integral; o domínio é invariante e o integrando muda de sinal, logo integral = negativo de si mesmo, portanto zero.)
Passo 7
Fica então somente a integral do termo constante:
O volume da bola de raio
é
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