Seja o campo vetorial \vec{F}=2 x_{1} \hat{i}_{1}+x_{2}^{2} \hat{i}_{2}+x_{3}^{2} \hat{i}_{3}. Calcule o fluxo \quad \oint \stackrel{\rightharpoonup}{F} \cdot \hat{h} d S \quad onde \boldsymbol{S} é uma esfera de raio \boldsymbol{a}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}=2 x_{1} \hat{i}_{1}+x_{2}^{2} \hat{i}_{2}+x_{3}^{2} \hat{i}_{3} e pede o fluxo
\oint \vec{F}\cdot \hat{h}\, dS
onde S é a superfície de uma esfera de raio a. Informações relevantes dadas:
  • O campo é definido por suas componentes em coordenadas cartesianas: primeira componente 2x_{1}, segunda componente x_{2}^{2}, terceira componente x_{3}^{2}.
  • A superfície S é uma esfera de raio a (presumimos centrada na origem, pois não foi dito o contrário).
  • Queremos o fluxo total através da superfície fechada (o símbolo \oint indica superfície fechada).

Passo 2

Escolha do método: como S é uma superfície fechada simples (esfera) que envolve um volume bem conhecido (bola de raio a), o jeito mais prático é usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). Esse teorema transforma a integral de superfície em uma integral tripla sobre o volume interior, o que costuma simplificar muito quando a divergência é fácil de calcular. Vou usar esse método porque evita parametrizar a esfera e o cálculo fica direto.

Passo 3

Enunciando e explicando o Teorema da Divergência:
\oint_{S} \vec{F}\cdot \hat{h}\, dS \;=\; \int_{V} \nabla\cdot\vec{F}\, dV,
onde V é o volume limitado por S, \hat{h} é o vetor normal unitário externo, e \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às suas coordenadas:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{3}}.
Aqui F_{1},F_{2},F_{3} são as componentes do campo \vec{F} nas direções \hat{i}_{1},\hat{i}_{2},\hat{i}_{3}.

Passo 4

Calcular a divergência do campo dado. As componentes são F_{1}=2x_{1}, F_{2}=x_{2}^{2}, F_{3}=x_{3}^{2}. Então:
\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}=\frac{\partial (2x_{1})}{\partial x_{1}}=2,
\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}}=\frac{\partial (x_{2}^{2})}{\partial x_{2}}=2x_{2},
\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{3}}=\frac{\partial (x_{3}^{2})}{\partial x_{3}}=2x_{3}.
Portanto
\nabla\cdot\vec{F}=2+2x_{2}+2x_{3}.

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo é a integral do volume da divergência:
\oint_{S}\vec{F}\cdot\hat{h}\, dS=\int_{V}\bigl(2+2x_{2}+2x_{3}\bigr)\, dV.
Escrevo essa integral como soma de três integrais:
\int_{V}2\, dV \;+\; 2\int_{V} x_{2}\, dV \;+\; 2\int_{V} x_{3}\, dV.

Passo 6

Justificando por que os dois últimos integrandos são zero: x_{2} e x_{3} são funções ímpares em relação à origem ao longo das direções x_{2} e x_{3}. O volume V (a bola de raio a centrada na origem) é simétrico em relação à origem, ou seja, para cada ponto (x_{1},x_{2},x_{3}) no volume existe o ponto (x_{1},-x_{2},x_{3}) (ou (x_{1},x_{2},-x_{3})), e os valores de x_{2} (resp. x_{3}) nesses pontos têm sinais opostos. Portanto a integral de x_{2} sobre V é nula:
\int_{V} x_{2}\, dV = 0,
e análogamente
\int_{V} x_{3}\, dV = 0.
(Se quiser ver formalmente: faça a mudança de variável x_{2}\mapsto -x_{2} no integral; o domínio é invariante e o integrando muda de sinal, logo integral = negativo de si mesmo, portanto zero.)

Passo 7

Fica então somente a integral do termo constante:
\oint_{S}\vec{F}\cdot\hat{h}\, dS = \int_{V} 2\, dV = 2\cdot \operatorname{Vol}(V).
O volume da bola de raio a é
\operatorname{Vol}(V)=\frac{4}{3}\pi a^{3}.
Logo
\oint_{S}\vec{F}\cdot\hat{h}\, dS = 2\cdot \frac{4}{3}\pi a^{3} = \frac{8}{3}\pi a^{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}\pi a^{3}

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