Prove que
\oint_{c} \varphi \vec{\nabla} \psi \cdot d \vec{r}=\iint_{S} \vec{\nabla} \varphi \times \vec{\nabla} \psi \cdot \hat{n} d S
(b) Utilize o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
\int_{c}-x_{2}^{3} d x_{1}+x_{1}^{3} d x_{2}-x_{3}^{3} d x_{3}
onde C é a interseção do cilindro x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 e o plano x_{1}+x_{2}+x_{3}=1. A orientação do percurso de integração é o sentido anti-horário.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede):
  • Pede-se provar a identidade
\oint_{c} \varphi \,\vec{\nabla}\psi\cdot d\vec{r}=\iint_{S}\vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi\cdot\hat{n}\,dS,
onde c é uma curva fechada e S é uma superfície com \partial S=c.
  • Depois, usando o Teorema de Stokes, calcular a integral de linha
\int_{c}-x_{2}^{3}\,dx_{1}+x_{1}^{3}\,dx_{2}-x_{3}^{3}\,dx_{3},
onde C é a interseção do cilindro \;x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\; com o plano \;x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\;. A orientação do percurso C é o sentido anti-horário (isto é, a orientação do contorno que corresponde à normal escolhida por Stokes deve produzir esse sentido).

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal: Teorema de Stokes e identidades vetoriais.
  • Teorema de Stokes (forma usada): para um campo vetorial \vec{F} suficientemente suave e superfície S orientada com fronteira c=\partial S,
\oint_{c}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS.
Aqui d\vec{r} é o vetor tangente ao contorno e \hat n é a normal unitária de S orientada por regra da mão direita.
  • Definições e identidades úteis:
    • Para uma função escalar \psi(\vec{x}), o gradiente é \nabla\psi=(\partial_{x_1}\psi,\partial_{x_2}\psi,\partial_{x_3}\psi).
    • Para um campo vetorial \vec{A}, o rotacional (curl) é \nabla\times\vec{A}.
    • Produto escalar e produto vetorial seguem as regras usuais.
    • Identidade de produto para o rotacional (análogo da regra do produto): para escalar \varphi e vetor \vec{A},
    \nabla\times(\varphi\vec{A})=\nabla\varphi\times\vec{A}+\varphi(\nabla\times\vec{A}).
    • Observação importante: o rotacional do gradiente é nulo:
    \nabla\times(\nabla\psi)=\vec{0}.
Expliquei essas coisas para você poder aplicar Stokes com segurança — é basicamente usar a regra do produto para o rotacional e a propriedade \nabla\times(\nabla\psi)=0.

Passo 3

Prova da identidade pedida (parte (a)).
  • Tome o campo vetorial \vec{F}=\varphi\,\nabla\psi. Aplicando o Teorema de Stokes,
\oint_{c}\varphi\,\nabla\psi\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times(\varphi\,\nabla\psi))\cdot\hat{n}\,dS.
  • Use a identidade do passo anterior para o rotacional do produto:
\nabla\times(\varphi\,\nabla\psi)=\nabla\varphi\times\nabla\psi+\varphi(\nabla\times\nabla\psi).
  • Mas \nabla\times\nabla\psi=\vec{0}. Portanto sobra
\nabla\times(\varphi\,\nabla\psi)=\nabla\varphi\times\nabla\psi.
  • Substituindo na fórmula de Stokes obtemos exatamente
\oint_{c}\varphi\,\nabla\psi\cdot d\vec{r}=\iint_{S}\nabla\varphi\times\nabla\psi\cdot\hat{n}\,dS,
que é a identidade que tínhamos de provar. Fim da prova. (Resumo: escolhemos \vec{F}=\varphi\nabla\psi, aplicamos Stokes e a regra do produto para o rotacional; o termo com \nabla\times\nabla\psi some.)

Passo 4

Iniciando a solução da parte (b): identificar o campo e calcular o rotacional.
  • Escrevemos o integrando como produto \vec{F}\cdot d\vec{r} com
\vec{F}(x_{1},x_{2},x_{3})=\big(-x_{2}^{3},\;x_{1}^{3},\;-x_{3}^{3}\big).
  • Vamos calcular \nabla\times\vec{F}. Lembre que (\nabla\times\vec{F})_{1}=\partial_{x_2}F_{3}-\partial_{x_3}F_{2}, etc. Calcule termo a termo:
    • \partial_{x_2}F_{3}=\partial_{x_2}(-x_{3}^{3})=0.
    • \partial_{x_3}F_{2}=\partial_{x_3}(x_{1}^{3})=0.
      Assim (\nabla\times\vec{F})_{1}=0.
    • \partial_{x_3}F_{1}=\partial_{x_3}(-x_{2}^{3})=0.
    • \partial_{x_1}F_{3}=\partial_{x_1}(-x_{3}^{3})=0.
      Assim (\nabla\times\vec{F})_{2}=0.
    • \partial_{x_1}F_{2}=\partial_{x_1}(x_{1}^{3})=3x_{1}^{2}.
    • \partial_{x_2}F_{1}=\partial_{x_2}(-x_{2}^{3})=-3x_{2}^{2}.
      Assim
    (\nabla\times\vec{F})_{3}=3x_{1}^{2}-(-3x_{2}^{2})=3\big(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\big).
  • Portanto
\nabla\times\vec{F}=\big(0,\;0,\;3(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\big).

Passo 5

Escolha da superfície S e parametrização adequada.
  • Uma escolha natural para S é a porção do plano \;x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\; limitada pelo círculo dado pela interseção com o cilindro \;x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1.
  • Parametrizamos a superfície S usando as coordenadas (u,v)=(x_{1},x_{2}) (ou seja, projetando verticalmente sobre o plano x_{3}) e escrevemos
\vec{r}(u,v)=(u,\;v,\;1-u-v),\qquad (u,v)\in D,
onde D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\} é o disco unitário no plano x_{1}x_{2}.
  • Calculemos os vetores tangentes: \vec{r}_{u}=(1,0,-1),\qquad \vec{r}_{v}=(0,1,-1).
  • O vetor de área (não unitário) é o produto vetorial \vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v}=(1,1,1).Note que isso significa que o elemento de superfície orientado é (1,1,1)\,du\,dv. A direção (1,1,1) corresponde a uma normal da superfície; escolhendo esta normal, a orientação do contorno induzida por Stokes é justamente o sentido anti-horário pedido (visto a partir da ponta do vetor normal). Assim estamos compatibilizando a orientação.

Passo 6

Aplicando Stokes e reduzindo a integral para o disco projetado.
  • Pelo Teorema de Stokes:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS
ou, usando a parametrização,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v})\,du\,dv.
  • Substituímos \nabla\times\vec{F}=(0,0,3(u^{2}+v^{2})) e \vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v}=(1,1,1). O produto escalar é
(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v}) = \big(0,0,3(u^{2}+v^{2})\big)\cdot(1,1,1) =3(u^{2}+v^{2}).
  • Portanto a integral reduz-se a
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}3(u^{2}+v^{2})\,du\,dv.

Passo 7

Cálculo da integral em coordenadas polares.
  • Passe para coordenadas polares no disco D: u=r\cos\theta,\; v=r\sin\theta, com 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi. O jacobiano é du\,dv=r\,dr\,d\theta.
  • A integranda 3(u^{2}+v^{2}) torna-se 3r^{2}. Assim
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} 3r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta =3\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1} r^{3}\,dr.
  • Calcule as integrais: \displaystyle\int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\frac{1}{4} e \displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi. Portanto
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=3\cdot 2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{3\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \oint_{c} \varphi \,\nabla\psi\cdot d\vec{r}=\iint_{S}\nabla\varphi\times\nabla\psi\cdot\hat{n}\,dS.
\displaystyle \oint_{C}\big(-x_{2}^{3}\,dx_{1}+x_{1}^{3}\,dx_{2}-x_{3}^{3}\,dx_{3}\big)=\frac{3\pi}{2}.

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