Prove que
(b) Utilize o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
onde
é a interseção do cilindro
e o plano
. A orientação do percurso de integração é o sentido anti-horário.
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema pede):
- Pede-se provar a identidade
onde
é uma curva fechada e
é uma superfície com
.
- Depois, usando o Teorema de Stokes, calcular a integral de linha
onde
é a interseção do cilindro
com o plano
. A orientação do percurso
é o sentido anti-horário (isto é, a orientação do contorno que corresponde à normal escolhida por Stokes deve produzir esse sentido).
Passo 2
Apresentando a ferramenta principal: Teorema de Stokes e identidades vetoriais.
- Teorema de Stokes (forma usada): para um campo vetorial
suficientemente suave e superfície orientada com fronteira ,
Aqui
é o vetor tangente ao contorno e
é a normal unitária de
orientada por regra da mão direita.
- Definições e identidades úteis:
- Para uma função escalar
, o gradiente é . - Para um campo vetorial
, o rotacional (curl) é . - Produto escalar e produto vetorial seguem as regras usuais.
- Identidade de produto para o rotacional (análogo da regra do produto): para escalar
e vetor ,
- Observação importante: o rotacional do gradiente é nulo:
- Para uma função escalar
Expliquei essas coisas para você poder aplicar Stokes com segurança — é basicamente usar a regra do produto para o rotacional e a propriedade
.
Passo 3
Prova da identidade pedida (parte (a)).
- Tome o campo vetorial
. Aplicando o Teorema de Stokes,
- Use a identidade do passo anterior para o rotacional do produto:
- Mas
. Portanto sobra
- Substituindo na fórmula de Stokes obtemos exatamente
que é a identidade que tínhamos de provar. Fim da prova. (Resumo: escolhemos
, aplicamos Stokes e a regra do produto para o rotacional; o termo com
some.)
Passo 4
Iniciando a solução da parte (b): identificar o campo e calcular o rotacional.
- Escrevemos o integrando como produto
com
- Vamos calcular
. Lembre que , etc. Calcule termo a termo: -
. -
.
Assim. -
. -
.
Assim. -
. -
.
Assim
-
- Portanto
Passo 5
Escolha da superfície
e parametrização adequada.
- Uma escolha natural para
é a porção do plano limitada pelo círculo dado pela interseção com o cilindro . - Parametrizamos a superfície
usando as coordenadas (ou seja, projetando verticalmente sobre o plano ) e escrevemos
onde
é o disco unitário no plano
.
- Calculemos os vetores tangentes:
- O vetor de área (não unitário) é o produto vetorial
Note que isso significa que o elemento de superfície orientado é . A direção corresponde a uma normal da superfície; escolhendo esta normal, a orientação do contorno induzida por Stokes é justamente o sentido anti-horário pedido (visto a partir da ponta do vetor normal). Assim estamos compatibilizando a orientação.
Passo 6
Aplicando Stokes e reduzindo a integral para o disco projetado.
- Pelo Teorema de Stokes:
ou, usando a parametrização,
- Substituímos
e . O produto escalar é
- Portanto a integral reduz-se a
Passo 7
Cálculo da integral em coordenadas polares.
- Passe para coordenadas polares no disco
: , com , . O jacobiano é . - A integranda
torna-se . Assim
- Calcule as integrais:
e . Portanto