Seja o campo vetorial \vec{F}(x, y)=\left(5 x^{2}+2 y, x+3 y^{3}\right).
Calcule:
\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}
onde C é qualquer caminho que vai de (0,0) até (1,1).

Passo 1

O enunciado pede
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde \vec{F}(x,y)=(5x^{2}+2y,\;x+3y^{3}) e C é “qualquer caminho” de (0,0) a (1,1).
Para que essa integral seja independente do caminho, \vec{F} teria de ser conservativo. Vamos verificar isso.

Passo 2

Escrevemos \vec{F}=(P,Q) com
P(x,y)=5x^{2}+2y, \quad Q(x,y)=x+3y^{3}.
Um campo em \mathbb{R}^2 é conservativo se
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(5x^{2}+2y) = 2, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x+3y^{3}) = 1.

Passo 3

Como 2\neq1, temos
\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x},
logo \vec{F} não é conservativo. Isso significa que
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}
depende de qual caminho C escolhemos entre (0,0) e (1,1). Não há um valor único sem especificar C.

Resposta

O campo não é conservativo, de modo que o valor de
\displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}
depende do caminho C e não pode ser determinado sem informação adicional sobre C.

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