Seja o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2} z, y z, x+y+z\right).
(a) \vec{F} é conservativo? Justifique!
(b) Calcule o divergente de \vec{F}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\bigl(x^{2}z,\;y z,\;x+y+z\bigr)
e pede:
(a) verificar se \vec{F} é conservativo,
(b) calcular o divergente de \vec{F}.
Para (a) vamos usar o critério de campo conservativo em \mathbb{R}^3: um campo é conservativo se e somente se seu rotacional (curl) for zero. Para (b) aplicamos a definição de divergente.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula do rotacional:
\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ x^{2}z & y z & x+y+z \end{vmatrix}.
Isso significa que
(\nabla\times\vec F)_1 =\partial_y(x+y+z)-\partial_z(y z), \quad (\nabla\times\vec F)_2 =\partial_z(x^{2}z)-\partial_x(x+y+z), \quad (\nabla\times\vec F)_3 =\partial_x(y z)-\partial_y(x^{2}z).

Passo 3

Calculemos cada componente:
  1. (\nabla\times\vec F)_1 =\partial_y(x+y+z)-\partial_z(y z) =1 - y.
  2. (\nabla\times\vec F)_2 =\partial_z(x^{2}z)-\partial_x(x+y+z) =x^{2}-1.
  3. (\nabla\times\vec F)_3 =\partial_x(y z)-\partial_y(x^{2}z) =0 - 0 = 0.
    Logo
\nabla\times\vec F = (\,1-y,\;x^{2}-1,\;0),
que não é o vetor nulo em geral. Portanto, \vec{F} não é conservativo.

Passo 4

Agora o divergente:
\nabla\cdot\vec F =\partial_x(x^{2}z)+\partial_y(y z)+\partial_z(x+y+z) =2x\,z + z + 1.

Resposta

(a) \vec{F} não é conservativo, pois \nabla\times\vec F=(1-y,\;x^{2}-1,\;0)\neq(0,0,0).
(b) \displaystyle \nabla\cdot\vec F = 2x\,z + z + 1.

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