Seja o campo vetorial \vec{F}(x, y)=\left(e^{x}-y^{2}, 2 x y\right), e C o contorno do domínio D limitado pelo quadrado com vértices (0,0),(1,0),(1,2),(0,2), percorrido no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \vec{F}(x,y)=(e^{x}-y^{2},\,2xy) e pede a integral de linha fechada
\displaystyle\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}
em torno do quadrado D=[0,1]\times[0,2], percorrido no sentido anti-horário.
Para simplificar, vamos usar o Teorema de Green, que afirma:
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 2

Identificamos P(x,y)=e^{x}-y^{2} e Q(x,y)=2xy. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=2y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=-2y.
Logo, o integrando do Teorema de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =2y - (-2y) =4y.

Passo 3

Agora avaliamos a integral dupla
\iint_{D}4y\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2}4y\,dy\,dx.
Primeiro integramos em y:
\int_{0}^{2}4y\,dy =4\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} =2\cdot4 =8.
Em seguida integramos em x:
\int_{0}^{1}8\,dx =8\cdot1 =8.

Resposta

8

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