Questão 1. Determine a parte imaginária e o módulo do número complexo z^{10} em que z=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 1

O enunciado pede a parte imaginária e o módulo de z^{10} onde
z = \tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
O conteúdo aqui é representação de número complexo em forma polar e uso da fórmula de De Moivre para potência.

Passo 2

Calcular o módulo e o argumento de z.
O módulo é
|z| = \sqrt{\bigl(\tfrac12\bigr)^2 + \bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^2} = \sqrt{\tfrac14 + \tfrac34} =1.
O argumento \theta=\arg(z) satisfaz
\tan\theta = \frac{\Im(z)}{\Re(z)} = \frac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac12} = -\sqrt{3},
e como \Re(z)>0, \Im(z)<0, temos
\theta = -\frac{\pi}{3}.

Passo 3

Escrever z na forma trigonométrica:
z = |z|\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr) = \cos\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr) + i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr).

Passo 4

Aplicar De Moivre para obter z^{10}:
z^{10} = \bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{3}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{3})\bigr)^{10} = \cos\bigl(10\cdot(-\tfrac{\pi}{3})\bigr) + i\sin\bigl(10\cdot(-\tfrac{\pi}{3})\bigr).
Note que
10\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{3}\Bigr) = -\frac{10\pi}{3} = -2\pi - \frac{4\pi}{3} \equiv -\frac{4\pi}{3} \equiv \frac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}.
Logo
z^{10} = \cos\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) + i\sin\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = -\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Dessa expressão concluímos que
a parte imaginária de z^{10} é \tfrac{\sqrt{3}}{2} e o módulo, como |z|=1, é
|z^{10}| = |z|^{10} = 1^{10} = 1.

Resposta

Parte imaginária: \tfrac{\sqrt{3}}{2}
Módulo: 1

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