Seja o campo vetorial
\vec{F}(x, y, z)=\left(e^{x} \cos y, e^{x} \sin y, x y z\right)
Calcule: \operatorname{div} \vec{F} e \operatorname{rot} \vec{F}. Respostas: \operatorname{div} \vec{F}=2 e^{x} \cos y+x y . \operatorname{rot} \vec{F}=\left(x z,-y z, 2 e^{x} \sin y\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z) = \bigl(e^x\cos y,\;e^x\sin y,\;x\,y\,z\bigr)
e pede para calcular a divergência e o rotacional. Vamos usar as definições
– divergência: \operatorname{div}\vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}
– rotacional: \operatorname{rot}\vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \Bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z},\;\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr).

Passo 2

Calcular cada derivada para a divergência: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^x\cos y\bigr)=e^x\cos y \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^x\sin y\bigr)=e^x\cos y \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\,y\,z\bigr)=x\,y
Somando esses três termos, obtemos
\operatorname{div}\vec{F} = e^x\cos y + e^x\cos y + x\,y = 2\,e^x\cos y + x\,y.

Passo 3

Calcular cada derivada para o rotacional: \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x\,y\,z)=x\,z, \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(e^x\sin y)=0, \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(e^x\cos y)=0, \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x\,y\,z)=y\,z, \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(e^x\sin y)=e^x\sin y, \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(e^x\cos y)=-\,e^x\sin y.
Agora aplicamos a fórmula
\operatorname{rot}\vec{F} = \Bigl(xz - 0,\;0 - yz,\;e^x\sin y - (-e^x\sin y)\Bigr) = \bigl(x\,z,\;-y\,z,\;2\,e^x\sin y\bigr).

Resposta

\displaystyle \operatorname{div}\vec{F} = 2\,e^x\cos y + x\,y \displaystyle \operatorname{rot}\vec{F} = \bigl(x\,z,\;-y\,z,\;2\,e^x\sin y\bigr)

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