y^{\prime}=e^{x} y^{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = e^{x}y^{3},
que é do tipo variáveis separáveis. Vamos separar y e x, integrar e depois isolar y.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
\frac{1}{y^{3}}\,dy = e^{x}\,dx
e integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y^{3}}\,dy = \int e^{x}\,dx.
No lado esquerdo usamos \int y^{-3}dy = -\tfrac{1}{2}y^{-2}, e no direito \int e^{x}dx = e^{x}. Logo
-\frac{1}{2y^{2}} = e^{x} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Multiplicamos por -2 e definimos uma nova constante C_{1}=-2C, obtendo
\frac{1}{y^{2}} = -2e^{x} + C_{1}.
Invertendo e tomando raiz quadrada, ficamos com
y^{2} = \frac{1}{C_{1} - 2e^{x}} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm \frac{1}{\sqrt{\,C_{1} - 2e^{x}\,}}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{\,C_{1} - 2e^{x}\,}},
com C_{1} constante arbitrária.

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