y \ln y d x+x d y=0
y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\ln y\,dx + x\,dy = 0
com condição inicial y(1)=1.
O conteúdo aqui é equação de primeira ordem separável, pois podemos colocar todos os termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Vamos escrever a derivada \tfrac{dy}{dx}. Dividindo a equação por dx e reorganizando:
x\,\frac{dy}{dx} = -\,y\ln y\
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\frac{dy}{dx} = -\,\frac{y\ln y}{x}.

Passo 3

Agora separamos as variáveis y e x:
\frac{dy}{y\ln y} = -\,\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, fazemos a substituição u = \ln y, de modo que du = \tfrac{1}{y}\,dy. Assim
\int \frac{dy}{y\ln y} = \int \frac{du}{u} = \ln\bigl|\ln y\bigr| + C_1.
Do lado direito,
\int -\,\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C_2.
Juntando as constantes C=C_2-C_1, obtemos
\ln\bigl|\ln y\bigr| = -\ln|x| + C.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados:
\bigl|\ln y\bigr| = e^C \,\frac{1}{|x|} = \frac{K}{x},
onde K=e^C. Podemos absorver o sinal em K e escrever
x\,\ln y = K.

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(1)=1:
1\cdot\ln(1) = K \implies 0 = K.
Logo K=0 e a solução fica
x\,\ln y = 0 \implies \ln y = 0 \implies y = 1.

Resposta

y(x)=1

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