Seja S a superfície do hemisfério superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4. Calcule
\iint_{S} z d S
Resposta: 4 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
\iint_{S} z\,dS
sobre o hemisfério superior S da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
O conteúdo aqui é integração de superfícies por meio de coordenadas esféricas, em que usamos a parametrização do hemisfério e o elemento de área correspondente.

Passo 2

Parametrizamos S em coordenadas esféricas com raio R=2:
x = 2\sin\theta\cos\varphi,\quad y = 2\sin\theta\sin\varphi,\quad z = 2\cos\theta,
onde \theta\in[0,\tfrac\pi2] (altura positiva) e \varphi\in[0,2\pi].
O elemento de área da esfera de raio 2 é
dS = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi = 4\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Na integral substituímos z=2\cos\theta e dS=4\sin\theta\,d\theta\,d\varphi. Assim,
\iint_{S} z\,dS = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2} \bigl(2\cos\theta\bigr)\,\bigl(4\sin\theta\bigr)\,d\theta\,d\varphi = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2}8\cos\theta\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}8\cos\theta\sin\theta\,d\theta =8\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta =8\cdot\tfrac12 =4.

Passo 5

Em seguida, integramos em \varphi:
\iint_{S} z\,dS = \int_{0}^{2\pi}4\,d\varphi =4\cdot2\pi =8\pi.

Resposta

8\pi

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