Toda matriz A, tal que A^2=A, é semelhante a uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada tal que
A^2=A,
ou seja, A é idempotente. O objetivo é mostrar que existe uma base em que a matriz de A é diagonal, portanto A é diagonalizável. Vamos usar a decomposição do espaço em imagem e núcleo de A.

Passo 2

Mostramos que o espaço vetorial se escreve como soma direta
  1. Se , então para algum , e
logo é vetor próprio de valor próprio .
2. Se , então , logo é vetor próprio de valor próprio .
3. Se , então e , mas também , daí .
4. Para qualquer escrevemos
onde e , ou seja .

Passo 3

Escolhemos uma base de e uma base de . Como , a união é base de . Na base , a ação de sobre vetores de é a identidade e sobre vetores de é zero.

Passo 4

Logo, a matriz de A na base B é
P^-1AP = Ir & 0 0 & 0n-r ,
onde r=dimIm(A) e n=dim V. Isso mostra que A é semelhante a uma matriz diagonal com entradas apenas 1 e 0.

Resposta

Qualquer matriz idempotente é semelhante a

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