Toda matriz , tal que , é semelhante a uma matriz diagonal.
Passo 1
O enunciado diz que é uma matriz quadrada tal que
ou seja, é idempotente. O objetivo é mostrar que existe uma base em que a matriz de é diagonal, portanto é diagonalizável. Vamos usar a decomposição do espaço em imagem e núcleo de .
Passo 2
Mostramos que o espaço vetorial se escreve como soma direta
Se , então para algum , e
logo é vetor próprio de valor próprio .
2. Se , então , logo é vetor próprio de valor próprio .
3. Se , então e , mas também , daí .
4. Para qualquer escrevemos
onde e , ou seja .
Passo 3
Escolhemos uma base de e uma base de . Como , a união é base de . Na base , a ação de sobre vetores de é a identidade e sobre vetores de é zero.
Passo 4
Logo, a matriz de na base é
onde r=dimIm(A) e n=dim V. Isso mostra que A é semelhante a uma matriz diagonal com entradas apenas 1 e 0.