Seja L: C R o operador que extrai a parte real de um número complexo, definido por L(x)=(x+x^*) / 2. Mostre que é um operador linear, considerando escalares reais.

Passo 1

O enunciado define o operador L:CtoR por
L(x)=x+x^*2,
onde x^* é o conjugado de x. Queremos mostrar que L satisfaz as duas propriedades de linearidade quando os escalares são reais:
  1. Aditividade: L(x+y)=L(x)+L(y).
  2. Homogeneidade: L(a,x)=a,L(x) para todo ainR.

Passo 2

Verificação da aditividade. Para quaisquer x,yinC temos:
L(x+y) = (x+y)+(x+y)^*2 = x + y + x^* + y^*2 = x+x^*2 + y+y^*2 = L(x) + L(y)

Passo 3

Verificação da homogeneidade com escalares reais. Seja ainR e xinC. Como (a,x)^*=a,x^*,
L(a,x) = a,x + (a,x)^*2 = a,x + a,x^*2 = a,x + x^*2 = a,L(x)

Resposta

Portanto, L é um operador linear sobre C quando os escalares são reais.

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