Seja
o operador que extrai a parte real de um número complexo, definido por
. Mostre que é um operador linear, considerando escalares reais.
Passo 1
O enunciado define o operador
por
onde
é o conjugado de
. Queremos mostrar que
satisfaz as duas propriedades de linearidade quando os escalares são reais:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
para todo .
Passo 2
Verificação da aditividade. Para quaisquer
temos:
Passo 3
Verificação da homogeneidade com escalares reais. Seja
e
. Como
,
Resposta
Portanto,
é um operador linear sobre
quando os escalares são reais.