- Seja
. Então
A^7 vale:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
A^7 , onde
Este é um problema de teoria de matrizes, e vamos usar o polinômio característico e o polinômio mínimo para simplificar potências elevadas de
A .
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A . Seja
lambda um escalar, então
Fazendo expansão e simplificando, encontra-se
Logo, os autovalores de
A são
lambda=0 ,
lambda=1 e
lambda=-1 .
Passo 3
O polinômio característico mostra que
A satisfaz
Esse é o polinômio mínimo de
A (pois os três autovalores são distintos).
Passo 4
Usando
A^3 = A , para qualquer inteiro ímpar
n>=1 temos por indução
Em particular, para
n=7 obtemos