1. Seja A=[ccc1 & -1 & 1 2 & -2 & 1 2 & -2 & 1]. Então A^7 vale:

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^7, onde
A = 1 & -1 & 1 2 & -2 & 1 2 & -2 & 1
Este é um problema de teoria de matrizes, e vamos usar o polinômio característico e o polinômio mínimo para simplificar potências elevadas de A.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A. Seja lambda um escalar, então
det(A - lambda I) = det 1-lambda & -1 & 1 2 & -2-lambda& 1 2 & -2 & 1-lambda
Fazendo expansão e simplificando, encontra-se
det(A - lambda I) = lambda(lambda-1)(lambda+1)
Logo, os autovalores de A são lambda=0, lambda=1 e lambda=-1.

Passo 3

O polinômio característico mostra que A satisfaz
lambda(lambda-1)(lambda+1)=0 Longrightarrow A,(A^2 - I)=0 Longrightarrow A^3 = A
Esse é o polinômio mínimo de A (pois os três autovalores são distintos).

Passo 4

Usando A^3 = A, para qualquer inteiro ímpar n>=1 temos por indução
A^n = A
Em particular, para n=7 obtemos
A^7 = A

Resposta

A^7 = A = 1 & -1 & 1 2 & -2 & 1 2 & -2 & 1

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