Seja A=(ccc1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 -1 & 1 & 1). Determine se A é inversível. Se for, escreva A, explicitamente, como um produto de matrizes elementares.
19. Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Sejam A, B e C matrizes. Se B C=C B e A C=C A, então (A B) C=C(A B).
(b) Se o número de equações de um sistema linear homogêneo é menor que o número de incógnitas então o sistema tem solução não nula.
(c) Se A é matriz 5 times 4, então A X=0 possui infinitas soluções.
(d) Se A é uma matriz 4 times 3 e B é 3 times 4, então A B não é invertível.
(e) Sejam A e B matrizes n times n tais que B A é inversível. Então, A é inversível.

Passo 1

O exercício tem duas partes:
  1. Verificar se a matriz
A = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 -1 & 1 & 1
é inversível e, em caso afirmativo, escrevê-la como produto de matrizes elementares. Para isso vamos usar determinante e eliminação de Gauss-Jordan, registrando cada operação elementar.
2. Decidir a verdade ou falsidade de cinco afirmações envolvendo matrizes e sistemas lineares, provando as verdadeiras e dando contra-exemplo para as falsas.

Passo 2

Calculemos o determinante de A para testar invertibilidade.
det(A) =1cdotdet1&21&1 -0+;1cdotdet1&1-1&1 =(1cdot1-2cdot1)+(1cdot1-(-1)cdot1) =-1+2=1neq0
Como det(A)neq0, concluímos que A é inversível.

Passo 3

Fazemos Gauss-Jordan em A, anotando as operações elementares que levam I a A. Mais fácil: reduzimos A a I e depois invertemos as operações.
Começando com
l[;Amid I;r], zeramos abaixo de a11=1:
  • R2 R2-R1
  • R3 R3+R1
fica
1&0&10&1&10&1&2.
Depois, zeramos abaixo de a22=1:
  • R3 R3-R2
fica
1&0&10&1&10&0&1.
Por fim, zeramos acima de a33=1:
  • R1 R1-R3
  • R2 R2-R3
obtendo I.
As matrizes elementares correspondentes a essas cinco operações, em ordem inversa (para escrever A a partir de I), são:
F1=I+E21 =1&0&01&1&00&0&1, F2=I-E31 =1&0&00&1&0-1&0&1, F3=I+E32 =1&0&00&1&00&1&1,
F4=I+E13 =1&0&10&1&00&0&1, F5=I+E23 =1&0&00&1&10&0&1
Aqui Eij é a matriz com 1 na entrada (i,j) e zero nas demais.
Portanto
A ;=;F1,F2,F3,F4,F5

Passo 4

Analisemos agora as afirmações do item 19:
(a) “Se BC=CB e AC=CA, então (AB)C=C(AB).”
Verdadeiro. Pela associatividade
(AB)C = A(BC) = A(CB) = (AC)B = (CA)B = C(AB)
(b) “Se o número de equações de um sistema homogêneo é menor que o de incógnitas, existe solução não nula.”
Verdadeiro. Se há m incógnitas e r<m equações, o posto da matriz de coeficientes satisfaz rank<= r<m, logo dimker = m-rank>0, garantindo solução não trivial.
(c) “Se A é 5times4, então AX=0 tem infinitas soluções.”
Falso. Por exemplo,
A = 1&0&0&0 0&1&0&0 0&0&1&0 0&0&0&1 0&0&0&0
é 5times4 e o sistema homogêneo impõe x1=x2=x3=x4=0, solução única.
(d) “Se A é 4times3 e B é 3times4, então AB não é invertível.”
Verdadeiro. rank(AB)<=min(rankA,rankB)<=3<4, logo AB é singular.
(e) “Se A,B são ntimes n e BA é inversível, então A é inversível.”
Verdadeiro. rank(BA)=n implica rank(A)=n, logo A é invertível.

Resposta

  1. A matriz A é inversível ( det A=1) e pode ser escrita como
A = 1&0&01&1&00&0&1 1&0&00&1&0-1&0&1 1&0&00&1&00&1&1 1&0&10&1&00&0&1 1&0&00&1&10&0&1
  1. As afirmações (a), (b), (d) e (e) são Verdadeiras; a afirmação (c) é Falsa.

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