Seja . Determine se A é inversível. Se for, escreva A, explicitamente, como um produto de matrizes elementares.
19. Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Sejam A, B e C matrizes. Se B C=C B e A C=C A, então (A B) C=C(A B).
(b) Se o número de equações de um sistema linear homogêneo é menor que o número de incógnitas então o sistema tem solução não nula.
(c) Se A é matriz 5 times 4, então A X=0 possui infinitas soluções.
(d) Se A é uma matriz 4 times 3 e B é 3 times 4, então A B não é invertível.
(e) Sejam A e B matrizes n times n tais que B A é inversível. Então, A é inversível.
Passo 1
O exercício tem duas partes:
Verificar se a matriz
A = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 -1 & 1 & 1
é inversível e, em caso afirmativo, escrevê-la como produto de matrizes elementares. Para isso vamos usar determinante e eliminação de Gauss-Jordan, registrando cada operação elementar.
2. Decidir a verdade ou falsidade de cinco afirmações envolvendo matrizes e sistemas lineares, provando as verdadeiras e dando contra-exemplo para as falsas.
Passo 2
Calculemos o determinante de A para testar invertibilidade.
Aqui Eij é a matriz com 1 na entrada (i,j) e zero nas demais.
Portanto
A ;=;F1,F2,F3,F4,F5
Passo 4
Analisemos agora as afirmações do item 19:
(a) “Se BC=CB e AC=CA, então (AB)C=C(AB).”
Verdadeiro. Pela associatividade
(AB)C = A(BC) = A(CB) = (AC)B = (CA)B = C(AB)
(b) “Se o número de equações de um sistema homogêneo é menor que o de incógnitas, existe solução não nula.”
Verdadeiro. Se há m incógnitas e r<m equações, o posto da matriz de coeficientes satisfaz rank<= r<m, logo dimker = m-rank>0, garantindo solução não trivial.
(c) “Se A é 5times4, então AX=0 tem infinitas soluções.”
Falso. Por exemplo,
A = 1&0&0&0 0&1&0&0 0&0&1&0 0&0&0&1 0&0&0&0
é 5times4 e o sistema homogêneo impõe x1=x2=x3=x4=0, solução única.
(d) “Se A é 4times3 e B é 3times4, então AB não é invertível.”
Verdadeiro. rank(AB)<=min(rankA,rankB)<=3<4, logo AB é singular.
(e) “Se A,B são ntimes n e BA é inversível, então A é inversível.”
Verdadeiro. rank(BA)=n implica rank(A)=n, logo A é invertível.
Resposta
A matriz A é inversível (det A=1) e pode ser escrita como
A = 1&0&01&1&00&0&1 1&0&00&1&0-1&0&1 1&0&00&1&00&1&1 1&0&10&1&00&0&1 1&0&00&1&10&0&1
As afirmações (a), (b), (d) e (e) são Verdadeiras; a afirmação (c) é Falsa.