Dado o ponto P(5,2,3) e o plano pi: 2 x+y+z=0, determinar
(a) equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular a pi;
(b) a projeção ortogonal de P sobre o plano pi;
(c) o ponto P^prime simétrico de P em relação a pi;
(d) a distância de P a o plano pi.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P(5,2,3) e o plano pi:2x+y+z=0. Precisamos de
  • (a) reta por P perpendicular a pi,
  • (b) projeção ortogonal de P em pi,
  • (c) simétrico de P em relação a pi,
  • (d) distância de P a pi.
    Vamos usar o vetor normal n=(2,1,1) do plano e fórmulas de projeção.

Passo 2

A reta perpendicular a pi tem direção n=(2,1,1) e passa por P. Suas equações paramétricas são
x=5+2t,
y=2+t,
z=3+t

Passo 3

Para a projeção ortogonal, calculamos primeiro
lambda=2cdot5+1cdot2+1cdot32^2+1^2+1^2 =156=52
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Ppi = (5,2,3)-lambda,(2,1,1) = (5,2,3)-52(2,1,1) =(0,,-tfrac12,,tfrac12)

Passo 4

O ponto simétrico P' de P em relação a pi é obtido refletindo em dobro a distância projetada:
P'=(5,2,3)-2lambda,(2,1,1) =(5,2,3)-5,(2,1,1) =(-5,,-3,,-2)

Passo 5

A distância de P a pi é
d=l|2cdot5+1cdot2+1cdot3r|raiz2^2+1^2+1^2 =15raiz6 =5raiz62

Resposta

(a) x=5+2t,;y=2+t,;z=3+t.
(b) Ppi=(0,-tfrac12,tfrac12).
(c) P'=(-5,-3,-2).
(d) d=5raiz62.

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