Seja V um espaço euclideano real de dimensão finita e considere uma transformação linear T: V V com característica de T igual 1.
(a) Mostre que existe um único escalar lambda tal que
T^2(v)=T(T(v))=lambda T(v)
para qualquer v in V.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço euclidiano real de dimensão finita e que T:Vto V é linear com posto ;1. Precisamos mostrar que existe e é único um escalar lambda tal que, para todo vin V,
T^2(v)=Tl(T(v)r)=lambda,T(v)
Vamos usar que Im(T) é um subespaço de dimensão 1 e que toda aplicação linear num espaço de dimensão 1 é multiplicação por um escalar.

Passo 2

Como posto(T)=1, temos
Im(T)=lT(v)mid vin Vr
é um subespaço de dimensão 1. Escolha um vetor não nulo uinIm(T); então
Im(T)=spanu
Isso significa que, para cada vin V, existe escalar phi(v) tal que
T(v)=phi(v),u
É fácil ver que phi:Vto R é uma forma linear.

Passo 3

Agora aplicamos T novamente em T(v):
T^2(v)=Tl(T(v)r)=Tl(phi(v),ur) =phi(v),T(u)
Mas u pertence à imagem de T, logo também existe
phi(u) tal que T(u)=phi(u),u. Portanto
T^2(v) =phi(v),l(phi(u),ur) =phi(u),l(phi(v),ur) =phi(u),T(v)
Basta, então, tomar
lambda = phi(u)
para obter T^2(v)=lambda,T(v) para todo v.

Passo 4

Para ver a unicidade de lambda, suponha que exista outro escalar mu tal que
T^2(v)=mu,T(v) forall vin V
Escolha v de modo que T(v)neq0 (existe tal v pois T não é a aplicação zero). Então
lambda,T(v)=T^2(v)=mu,T(v)
e como T(v)neq0 segue lambda=mu.

Resposta

O escalar lambda existe e é único; de fato, se u gera Im(T), então
lambda=phi(u),
onde phi satisfaz T(v)=phi(v),u, e verifica-se imediatamente que
T^2(v)=lambda,T(v) forall vin V

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