Seja
um espaço euclideano real de dimensão finita e considere uma transformação linear
com característica de
igual 1.
(a) Mostre que existe um único escalar
tal que
para qualquer
.
(a) Mostre que existe um único escalar
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço euclidiano real de dimensão finita e que
é linear com posto
. Precisamos mostrar que existe e é único um escalar
tal que, para todo
,
Vamos usar que
é um subespaço de dimensão 1 e que toda aplicação linear num espaço de dimensão 1 é multiplicação por um escalar.
Passo 2
Como
, temos
é um subespaço de dimensão 1. Escolha um vetor não nulo
; então
Isso significa que, para cada
, existe escalar
tal que
É fácil ver que
é uma forma linear.
Passo 3
Agora aplicamos
novamente em
:
Mas
pertence à imagem de
, logo também existe
tal que
. Portanto
Basta, então, tomar
para obter
para todo
.
Passo 4
Para ver a unicidade de
, suponha que exista outro escalar
tal que
Escolha
de modo que
(existe tal
pois
não é a aplicação zero). Então
e como
segue
.
Resposta
O escalar
existe e é único; de fato, se
gera
, então
onde
satisfaz
, e verifica-se imediatamente que