Seja f(x, y)=ccraizx^2+y^2+1 & se x^2+y^2<1 0 & se x^2+y^2 >= 1
Calcular, se existirem, partial fpartial x(0,1), partial fpartial y(1,0) e partial fpartial y(0,0)

Passo 1

Vamos resumir o problema: a função é dada por
f(x,y)= raizx^2+y^2+1,&se x^2+y^2<1, 0,&se x^2+y^2>=1
Precisamos calcular as derivadas parciais em três pontos: (0,1), (1,0) e (0,0). Vamos usar a definição de derivada parcial e, no caso interno, a regra da cadeia para funções radicais.

Passo 2

Para derivar em um ponto (x0,y0) usamos a definição
partial fpartial x(x0,y0)=limhto0f(x0+h,y0)-f(x0,y0)h,
e análogo para partial f/partial y.

Passo 3

No ponto (0,1) temos x^2+y^2=1, ou seja, f(0,1)=0. Se variamos apenas x para (h,1) com hneq0, então h^2+1>1 e logo f(h,1)=0. Assim o quociente
f(0+h,1)-f(0,1)h=0-0h=0
para todo h, e o limite é 0. Portanto partial f/partial x(0,1)=0.

Passo 4

No ponto (1,0) também estamos na fronteira, f(1,0)=0. Variando apenas y para (1,h), tem-se 1+h^2>1 e f(1,h)=0. Logo
f(1,0+h)-f(1,0)h=0
e a derivada parcial partial f/partial y(1,0)=0.

Passo 5

Em (0,0) estamos no interior do disco, onde
f(x,y)=raizx^2+y^2+1=(x^2+y^2+1)^1/2
Usando regra da cadeia:
partial fpartial y(x,y)=12(x^2+y^2+1)^-1/2cdot2y=yraizx^2+y^2+1
Avaliando em (0,0) dá
partial fpartial y(0,0)=0raiz0+0+1=0

Resposta

partial f/partial x(0,1)=0, partial f/partial y(1,0)=0 e partial f/partial y(0,0)=0.

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