Calcule o determinante abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de uma matriz 4x4. Determinantes são uma ferramenta importante em álgebra linear para, por exemplo, resolver sistemas de equações ou encontrar áreas e volumes. Para resolver isso, vamos usar a técnica de expansão por cofatores, que basicamente quebra a matriz maior em matrizes menores para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna para expandir o determinante. Geralmente, é melhor escolher aquela que tem zeros ou números menores para facilitar os cálculos. Olhando a nossa matriz:
Perceba que a última coluna tem um zero, o que facilita a conta. Então, vamos expandir pelo quarto coluna.
Passo 3
A fórmula para o determinante expandido por cofatores na quarta coluna é:
Onde $ a_{ij} $ são os elementos da matriz e $ C_{ij} $ são os cofatores correspondentes.
Passo 4
Vamos identificar os elementos da quarta coluna:
- $ a_{14} = 0 $
- $ a_{24} = 2 $
- $ a_{34} = 1 $
- $ a_{44} = 3 $
Como $ a_{14} = 0 $, o primeiro termo da soma será zero e não precisamos calcular o cofator $ C_{14} $.
Passo 5
Agora, vamos calcular os cofatores restantes:
Cofator $ C_{24} $
Onde $ M_{24} $ é o determinante da matriz resultante ao remover a segunda linha e quarta coluna:
Vamos calcular $ M_{24} $:
Então, $ C_{24} = 5 $.
Cofator $ C_{34} $
Onde $ M_{34} $ é o determinante da matriz resultante ao remover a terceira linha e quarta coluna:
Vamos calcular $ M_{34} $:
Então, $ C_{34} = -4 $.
Cofator $ C_{44} $
Onde $ M_{44} $ é o determinante da matriz resultante ao remover a quarta linha e quarta coluna:
Vamos calcular $ M_{44} $:
Então, $ C_{44} = 14 $.
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores na fórmula inicial:
Resposta
O determinante da matriz dada é 48.