Calcule o determinante abaixo
|llll 1 & 3 & 2 & 0 3 & 1 & 0 & 2 2 & 3 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & 3 |

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de uma matriz 4x4. Determinantes são uma ferramenta importante em álgebra linear para, por exemplo, resolver sistemas de equações ou encontrar áreas e volumes. Para resolver isso, vamos usar a técnica de expansão por cofatores, que basicamente quebra a matriz maior em matrizes menores para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna para expandir o determinante. Geralmente, é melhor escolher aquela que tem zeros ou números menores para facilitar os cálculos. Olhando a nossa matriz:
1 & 3 & 2 & 0 3 & 1 & 0 & 2 2 & 3 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & 3
Perceba que a última coluna tem um zero, o que facilita a conta. Então, vamos expandir pelo quarto coluna.

Passo 3

A fórmula para o determinante expandido por cofatores na quarta coluna é:
det(A) = a14 cdot C14 + a24 cdot C24 + a34 cdot C34 + a44 cdot C44
Onde $ a_{ij} $ são os elementos da matriz e $ C_{ij} $ são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos identificar os elementos da quarta coluna:
  • $ a_{14} = 0 $
  • $ a_{24} = 2 $
  • $ a_{34} = 1 $
  • $ a_{44} = 3 $
Como $ a_{14} = 0 $, o primeiro termo da soma será zero e não precisamos calcular o cofator $ C_{14} $.

Passo 5

Agora, vamos calcular os cofatores restantes:

Cofator $ C_{24} $

C24
Onde $ M_{24} $ é o determinante da matriz resultante ao remover a segunda linha e quarta coluna:
C24 = (-1)^2+4 cdot M24 = (-1)^6 cdot M24 = 1 cdot M24
Vamos calcular $ M_{24} $:
M24
Então, $ C_{24} = 5 $.

Cofator $ C_{34} $

M24 = 1 & 3 & 2 2 & 3 & 0 0 & 2 & 1
Onde $ M_{34} $ é o determinante da matriz resultante ao remover a terceira linha e quarta coluna:
M24
Vamos calcular $ M_{34} $:
M24 = 1 cdot (3 cdot 1 - 0 cdot 2) - 3 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 0) + 2 cdot (2 cdot 2 - 3 cdot 0) = 1 cdot 3 - 3 cdot 2 + 2 cdot 4 = 3 - 6 + 8 = 5
Então, $ C_{34} = -4 $.

Cofator $ C_{44} $

C24 = 5
Onde $ M_{44} $ é o determinante da matriz resultante ao remover a quarta linha e quarta coluna:
C34
Vamos calcular $ M_{44} $:
C34 = (-1)^3+4 cdot M34 = (-1)^7 cdot M34 = -1 cdot M34
Então, $ C_{44} = 14 $.

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores na fórmula inicial:
det(A) = 0 cdot C14 + 2 cdot C24 + 1 cdot C34 + 3 cdot C44 = 0 + 2 cdot 5 + 1 cdot (-4) + 3 cdot 14 = 0 + 10 - 4 + 42 = 48

Resposta

O determinante da matriz dada é 48.

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