Resolva a equação:
l Y^prime-2 y^prime+y=x Y(0)=0 Y^prime(0)=1
Com uso da transformada de Laplace

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = x,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Vamos usar a transformada de Laplace para passar a EDO do domínio do tempo t para o domínio de s, resolver algebricamente, e depois aplicar a transformada inversa. Precisamos lembrar das fórmulas:
Ly'(t) = sY(s) - y(0),
Ly''(t) = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
Lx = 1/s^2.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO:
Ly'' - 2Ly' + Ly = Lx
Substituindo as fórmulas e as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1:
(s^2Y(s) - 1) - 2l(sY(s) - 0r) + Y(s) = 1s^2

Passo 3

Reorganizando para isolar Y(s):
(s^2 - 2s + 1)Y(s) - 1 = 1s^2,
isto é,
(s - 1)^2 ,Y(s) = 1 + 1s^2,
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Y(s) = 1(s-1)^2 + 1s^2,(s-1)^2

Passo 4

Para inverter Y(s), separamos em dois termos:
  1. 1(s-1)^2
  2. 1s^2,(s-1)^2.
O primeiro termo já sabemos que
L^-1l1(s-1)^2r = t e^t

Passo 5

Agora fazemos a decomposição em frações parciais de
1s^2,(s-1)^2 = As + Bs^2 + Cs-1 + D(s-1)^2
Multiplicando por s^2(s-1)^2 e igualando coeficientes encontramos
A=2, B=1, C=-2, D=1.

Passo 6

Invertendo cada parcela:
2/s vira 2,
1/s^2 vira t,
-2/(s-1) vira -2e^t,
1/(s-1)^2 vira t e^t.
Somando tudo, do segundo termo obtemos
2 + t - 2e^t + t e^t

Passo 7

Juntando com o primeiro termo t e^t, a solução final no domínio do tempo é
y(t) = t e^t + l(2 + t - 2e^t + t e^tr) = 2 + t - 2e^t + 2t e^t

Resposta

y(t) = 2 + t - 2e^{t} + 2t e^{t}

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