Resolva a equação:
Com uso da transformada de Laplace
Passo 1
Estamos resolvendo a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
com condições iniciais
e
. Vamos usar a transformada de Laplace para passar a EDO do domínio do tempo
para o domínio de
, resolver algebricamente, e depois aplicar a transformada inversa. Precisamos lembrar das fórmulas:
– ,
– ,
– .
–
–
–
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO:
Substituindo as fórmulas e as condições iniciais
,
:
Passo 3
Reorganizando para isolar
:
isto é,
logo
Passo 4
Para inverter
, separamos em dois termos:
-
-
.
O primeiro termo já sabemos que
Passo 5
Agora fazemos a decomposição em frações parciais de
Multiplicando por
e igualando coeficientes encontramos
,
,
,
.
Passo 6
Invertendo cada parcela:
– vira
,
– vira
,
– vira
,
– vira
.
–
–
–
–
Somando tudo, do segundo termo obtemos
Passo 7
Juntando com o primeiro termo
, a solução final no domínio do tempo é
Resposta
y(t) = 2 + t - 2e^{t} + 2t e^{t}