Seja um circuito
em série com uma fonte
de 20 V . Seja
e
, considere a condição de
.
Determine a solução completa para EDO referente a este circuito
Determine a solução completa para EDO referente a este circuito
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um circuito RC em série alimentado por fonte contínua de 20 V. A resistência é
e o capacitor
.
Foi dada também a condição de que a corrente no ramo, em , vale
.
e o capacitor
Foi dada também a condição de que a corrente no ramo, em
O que a gente vai fazer:
• Montar a equação diferencial (EDO) que descreve a tensão no capacitor .
• Resolver essa EDO usando o método clássico (solução homogênea + particular).
• Achar a constante de integração usando a condição sobre .
• Por fim, escrever a solução completa (e, como bônus,
).
• Montar a equação diferencial (EDO) que descreve a tensão no capacitor
• Resolver essa EDO usando o método clássico (solução homogênea + particular).
• Achar a constante de integração usando a condição sobre
• Por fim, escrever a solução completa
Minhas ferramentas teóricas aqui são:
- Leis de Kirchhoff (KVL) aplicadas ao laço.
- Relação
. - Técnicas de soluções de EDO de 1a ordem: homogênea + particular.
- Noção de constante de tempo
.
Passo 2
Monta-se a KVL no laço, somando tensões de fonte, resistor e capacitor:
20 V – –
= 0.
20 V –
Como
e
, substituímos:
20 – –
= 0,
onde chamamos .
20 –
onde chamamos
Reorganizando em forma canônica de EDO:
Essa é a nossa EDO de primeira ordem. Note que
é o coeficiente da parte homogênea e
é o termo forçante (particular).
Passo 3
Solução homogênea (
):
É uma EDO separável; a solução geral é
onde
é uma constante a determinar mais tarde.
Passo 4
Solução particular
:
Como o termo forçante é constante , tentamos
(constante).
Substituindo na EDO:
Como o termo forçante é constante
Substituindo na EDO:
Logo
Passo 5
A solução geral da EDO é soma das duas:
Aqui
. Então fica
Passo 6
Precisamos da constante
. Como a condição dada é sobre a corrente, vamos primeiro achar
em função de
.
Sabendo que
Mas
, então
. Logo
Chame
. Assim
.
Agora usamos a condição
. Substituindo
e
:
Então
Daí
vem de
, ou seja
Passo 7
Substituindo
em
, a solução completa fica
e, para quem quiser também a corrente
Resposta
v(t) = 20 – 10.272 e^(–t/16 ms) (V)
i(t) = 2.568 mA · e^(–t/16 ms)
i(t) = 2.568 mA · e^(–t/16 ms)