Seja um circuito R C em série com uma fonte D C de 20 V . Seja R=4 k Omega e C=4 mu F, considere a condição de i(t=4 ms)=2 mA.
Determine a solução completa para EDO referente a este circuito

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um circuito RC em série alimentado por fonte contínua de 20 V. A resistência é

e o capacitor
.
Foi dada também a condição de que a corrente no ramo, em , vale .
O que a gente vai fazer:
• Montar a equação diferencial (EDO) que descreve a tensão no capacitor .
• Resolver essa EDO usando o método clássico (solução homogênea + particular).
• Achar a constante de integração usando a condição sobre .
• Por fim, escrever a solução completa (e, como bônus, ).
Minhas ferramentas teóricas aqui são:
  1. Leis de Kirchhoff (KVL) aplicadas ao laço.
  2. Relação .
  3. Técnicas de soluções de EDO de 1a ordem: homogênea + particular.
  4. Noção de constante de tempo .

Passo 2

Monta-se a KVL no laço, somando tensões de fonte, resistor e capacitor:
20 V – dvdt + 1R,C,v(t) ;=; 20R,C = 0.
Como e , substituímos:
20 – = 0,
onde chamamos .
Reorganizando em forma canônica de EDO:
Essa é a nossa EDO de primeira ordem. Note que é o coeficiente da parte homogênea e é o termo forçante (particular).

Passo 3

Solução homogênea ( dvhdt + 1RC,vh = 0 ):
vh(t) = A,e^-t/(RC),
É uma EDO separável; a solução geral é
onde é uma constante a determinar mais tarde.

Passo 4

Solução particular 0 + 1RC,K = 20RC ;;Longrightarrow;; K = 20 :
Como o termo forçante é constante vp(t) = 20 V , tentamos (constante).
Substituindo na EDO:
Logo

Passo 5

A solução geral da EDO é soma das duas:
v(t) = vh(t) + vp(t) ;=; 20 + A,e^-t/(RC)
Aqui v(t) = 20 + A,e^-t/16,ms . Então fica

Passo 6

Precisamos da constante i(t) = C,dvdt = C ,ddtl[20 + A,e^-t/taur] = A,C;l(-tfrac1taur),e^-t/tau = -A,Ctau,e^-t/tau . Como a condição dada é sobre a corrente, vamos primeiro achar i(t) = -AR;e^-t/tau em função de 2,mA = Ki,e^-4/16 Longrightarrow Ki = 2,mA;e^4/16 = 2,mA;e^0.25 approx 2,mAtimes1.2840 approx 2.568,mA .
Sabendo que
i(t) = 2.568,mA;e^-t/16,ms
Mas -A4,kOmega = 2.568,mA ;Longrightarrow; A = -2.568times10^-3times4times10^3 = -10.272 V , então . Logo
Chame . Assim .
Agora usamos a condição . Substituindo e :
Então
Daí vem de , ou seja

Passo 7

Substituindo boxed v(t) = 20 ;-; 10.272,e^-t/16,ms (em vo em boxed i(t) = 2.568,mA;e^-t/16,ms , a solução completa fica
e, para quem quiser também a corrente

Resposta

v(t) = 20 – 10.272 e^(–t/16 ms) (V)
i(t) = 2.568 mA · e^(–t/16 ms)

Exercícios relacionados