Seja um circuito RC série alimentado por uma fonte de tensão senoidal
. O resistor é do tipo fio enrolado, sendo que o fio tem comprimento
, seção transversal circular de área
e é feito de material com condutividade
. O capacitor é de placas paralelas, sendo a área das placas
, a distância entre elas
e o dielétrico tem permissividade
. Obtenha, via teoria de campo, uma expressão para o fasor de corrente resultante no circuito. Considere que a frequência seja baixa e as dimensões do circuito sejam pequenas, de modo que o efeito pelicular possa ser desprezado e a lei de Kirchhoff das tensões seja válida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um circuito RC série alimentado por uma fonte de tensão senoidal $ v_f(t) = \sqrt{2} V_{rms} \cos(\omega t) $. O resistor é feito de fio enrolado com comprimento $ L_R $, área da seção transversal $ A_R $ e condutividade $ \sigma $. O capacitor tem placas paralelas com área $ A_c $, distância $ d $ entre elas e dielétrico com permissividade $ \varepsilon $. Nosso objetivo é, usando a teoria de campo, encontrar a expressão para o fasor da corrente resultante no circuito. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de resistência, capacitância e teoria de circuitos AC, especialmente a lei de Kirchhoff das tensões.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a resistência $ R $ do resistor. A resistência de um fio pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, $ L_R $ é o comprimento do fio, $ \sigma $ é a condutividade do material, e $ A_R $ é a área da seção transversal.
Passo 3
Agora, vamos calcular a capacitância $ C $ do capacitor. Para placas paralelas, a capacitância é dada por:
Onde $ \varepsilon $ é a permissividade do dielétrico, $ A_c $ é a área das placas e $ d $ é a distância entre elas.
Passo 4
Com resistência $ R $ e capacitância $ C $ determinadas, podemos tratar o circuito RC série em regime estacionário AC. A impedância $ Z $ do circuito é dada por:
Aqui, $ j $ é a unidade imaginária e $ \omega $ é a frequência angular da fonte de tensão.
Passo 5
Agora, para encontrar o fasor da corrente $ I $, usamos a relação entre a tensão do circuito e a impedância:
Substituindo $ Z $:
Passo 6
Para simplificar, multiplicamos o numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Isso nos dá a forma padrão do fasor da corrente.
Resposta
Portanto, o fasor da corrente resultante no circuito é: