Seja
uma circunferência de raio 2 e centro
no plano
. Faça o que se pede:
Mostre que, em todo o ponto, a curvatura de
é inversamente proporcional ao seu raio.
Mostre que, em todo o ponto, a curvatura de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em qualquer ponto de uma circunferência de raio
e centro
no plano
, a curvatura é inversamente proporcional ao raio. O conteúdo envolvido aqui é a definição de curvatura de uma curva regular em
(ou
vista como
) e a fórmula
Para resolver, vamos parametrizar a circunferência, calcular as derivadas primeiras e segundas e aplicar essa fórmula.
Passo 2
Parametrizamos a circunferência de centro
e raio
por
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Usamos a fórmula da curvatura
Como ambos os vetores vivem no plano
, o produto vetorial aponta na direção
. Calculamos
Portanto
.
Passo 5
A norma de
é
Logo
Como
, isso mostra
.
Resposta
Em todo ponto da circunferência,
, isto é,
, ou seja, a curvatura é inversamente proporcional ao raio.