Seja C uma circunferência de raio 2 e centro (0,1) no plano z=0. Faça o que se pede:
Mostre que, em todo o ponto, a curvatura de C é inversamente proporcional ao seu raio.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer ponto de uma circunferência de raio 2 e centro (0,1) no plano z=0, a curvatura é inversamente proporcional ao raio. O conteúdo envolvido aqui é a definição de curvatura de uma curva regular em R^3 (ou R^2 vista como R^3) e a fórmula
kappa(t)=lVert gamma'(t)times gamma''(t)rVertlVert gamma'(t)rVert^3,
Para resolver, vamos parametrizar a circunferência, calcular as derivadas primeiras e segundas e aplicar essa fórmula.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência de centro (0,1,0) e raio 2 por
gamma(t)=l(2cos t,;1+2sin t,;0r), tin[0,2pi]

Passo 3

Calculamos as derivadas de gamma:
gamma'(t)=l(-2sin t,;2cos t,;0r), gamma''(t)=l(-2cos t,;-2sin t,;0r)

Passo 4

Usamos a fórmula da curvatura
kappa(t) =lVert gamma'(t)times gamma''(t)rVertlVert gamma'(t)rVert^3
Como ambos os vetores vivem no plano z=0, o produto vetorial aponta na direção z. Calculamos
gamma'(t)times gamma''(t) =(0,0,,(-2sin t)(-2sin t)- (2cos t)(-2cos t)) =(0,0,,4sin^2 t+4cos^2 t)=(0,0,4)
Portanto lVert gamma'(t)times gamma''(t)rVert=4.

Passo 5

A norma de gamma'(t) é
lVert gamma'(t)rVert =raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2 =raiz4(sin^2 t+cos^2 t) =2
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kappa(t) =42^3 =48 =12
Como R=2, isso mostra kappa=tfrac1R.

Resposta

Em todo ponto da circunferência, kappa=12, isto é, kappa=1R, ou seja, a curvatura é inversamente proporcional ao raio.

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