Seja C uma curva de parametrização r(t)=(a(t-sen t), a(1-cos t)), t in[0,2 pi].
Sabendo-se que a reta tangente a uma curva de parametrização r(t) no instante t0 é dada por X(t)=r(t0)+t r^prime(t0), determine a reta tangente à curva C acima no ponto (2 a pi, 0),

Passo 1

O enunciado descreve a curva parametrizada
r(t)=l(a,(t-sin t),,a,(1-cos t)r), tin[0,2pi],
que é o ciclóide gerado por uma roda de raio a. Queremos a reta tangente a essa curva no ponto (2api,0). Sabemos da teoria de parametrização de curvas que, em princípio, a reta tangente no instante t0 seria
X(s)=r(t0)+s,r'(t0),
mas aqui vamos ver que r'(t0)=0 e teremos de recorrer ao comportamento da derivada implícita dy/dx.

Passo 2

Primeiro encontramos o valor de t0 tal que
r(t0)=(2api,0)
Da coordenada x temos
al(t0-sin t0r)=2api ;Longrightarrow; t0-sin t0=2pi
Como sin(2pi)=0, segue t0=2pi. Verificando a coordenada y:
al(1-cos(2pi)r)=a(1-1)=0,
confirmando que t0=2pi é o instante desejado.

Passo 3

Calculamos a derivada
r'(t)=l(a(1-cos t),,asin tr)
Em t=2pi vem
r'(2pi)=l(a(1-cos2pi),,asin2pir)=(0,0)
Portanto o vetor velocidade se anula e a fórmula direta X(s)=r(2pi)+s,r'(2pi) daria apenas o ponto fixo (2api,0).

Passo 4

Para entender a direção do tangente podemos usar
dydx =dydtdxdt =asin ta(1-cos t) =sin t1-cos t =cot!l(tfrac t2r)
À medida que tto2pi, temos tfrac t2topi e cot(pi)=infty. Logo a derivada dy/dx explode, indicando que a reta tangente é vertical.

Passo 5

Uma reta vertical que passe por (2api,0) tem equação
x=2api

Resposta

A reta tangente à curva C no ponto (2api,0) é
x=2api

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