Seja
uma curva de parametrização
.
Sabendo-se que a reta tangente a uma curva de parametrização
no instante
é dada por
, determine a reta tangente à curva
acima no ponto
,
Sabendo-se que a reta tangente a uma curva de parametrização
Passo 1
O enunciado descreve a curva parametrizada
que é o ciclóide gerado por uma roda de raio
. Queremos a reta tangente a essa curva no ponto
. Sabemos da teoria de parametrização de curvas que, em princípio, a reta tangente no instante
seria
mas aqui vamos ver que
e teremos de recorrer ao comportamento da derivada implícita
.
Passo 2
Primeiro encontramos o valor de
tal que
Da coordenada
temos
Como
, segue
. Verificando a coordenada
:
confirmando que
é o instante desejado.
Passo 3
Calculamos a derivada
Em
vem
Portanto o vetor velocidade se anula e a fórmula direta
daria apenas o ponto fixo
.
Passo 4
Para entender a direção do tangente podemos usar
À medida que
, temos
e
. Logo a derivada
explode, indicando que a reta tangente é vertical.
Passo 5
Uma reta vertical que passe por
tem equação
Resposta
A reta tangente à curva
no ponto
é