Seja F=P i+Q j+R k de classe C^1 no aberto R^3-(0,0,0). Seja S a fronteira do conjunto
E=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2-1 <= z <= 1-x^2-y^2
com normal n apontando para fora de E. Mostre que integral duplaS F cdot n d S=0. (Cuidado: O teorema da divergência não se aplica.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS é igual a zero. A gente está trabalhando com um campo vetorial F = P i + Q j + R k definido em todo o espaço R^3 menos na origem. A superfície S é a fronteira do conjunto E, que é formado por todos os pontos (x, y, z) que satisfazem x^2 + y^2 - 1 <= z <= 1 - x^2 - y^2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e propriedades de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o conjunto E. A condição x^2 + y^2 - 1 <= z <= 1 - x^2 - y^2 define uma região no espaço onde z está entre duas superfícies parabólicas: uma voltada para cima ( z = x^2 + y^2 - 1) e outra voltada para baixo ( z = 1 - x^2 - y^2). Basicamente, E é uma espécie de “sanduíche” entre essas duas superfícies.

Passo 3

Agora, a superfície S é a fronteira desse conjunto E. Isso significa que S é composta por duas partes: a parte superior onde z = 1 - x^2 - y^2 e a parte inferior onde z = x^2 + y^2 - 1. A norma n está apontando para fora de E, ou seja, está saindo do conjunto E.

Passo 4

Para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS, vamos dividir S em duas partes: S1 (a parte superior) e S2 (a parte inferior). Assim, a integral fica:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaS1 F cdot n , dS + integral duplaS2 F cdot n , dS

Passo 5

Vamos parametrizar cada parte da superfície. Para S1 (parte superior), temos z = 1 - x^2 - y^2. Podemos parametrizar usando coordenadas polares:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = 1 - r^2
Onde r varia de 0 a 1 (para que z >= x^2 + y^2 - 1) e theta de 0 a 2pi.

Passo 6

Para S2 (parte inferior), a equação é z = x^2 + y^2 - 1. Também parametrize em coordenadas polares:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = r^2 - 1
Aqui, r também varia de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi.

Passo 7

Vamos calcular as normais n para cada parte. Para S1, a normal aponta para fora de E, ou seja, para cima na parte superior. A normal pode ser encontrada usando o gradiente da função que define S1:
n1 = nabla (z - (1 - x^2 - y^2))|nabla (z - (1 - x^2 - y^2))| = 2x i + 2y j + kraiz4x^2 + 4y^2 + 1
Similarmente, para S2:
n2 = nabla (z - (x^2 + y^2 - 1))|nabla (z - (x^2 + y^2 - 1))| = -2x i - 2y j + kraiz4x^2 + 4y^2 + 1

Passo 8

Agora, vamos calcular F cdot n para cada parte da superfície.
Para S1:
F cdot n1 = 2xP + 2yQ + Rraiz4x^2 + 4y^2 + 1
Para S2:
F cdot n2 = -2xP - 2yQ + Rraiz4x^2 + 4y^2 + 1

Passo 9

Observando as duas expressões, percebemos que, quando somamos as integrais sobre S1 e S2, os termos 2xP e 2yQ se cancelam:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaS1 2xP + 2yQ + Rraiz4x^2 + 4y^2 + 1 , dS + integral duplaS2 -2xP - 2yQ + Rraiz4x^2 + 4y^2 + 1 , dS = integral duplaS1 R , dS + integral duplaS2 R , dS - integral duplaS1 2xP + 2yQ , dS + integral duplaS2 (-2xP - 2yQ) , dS = Termos se cancelam

Passo 10

Portanto, o que resta é:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaS1 R , dS + integral duplaS2 R , dS
Mas, como S1 e S2 têm contribuições opostas para R devido à orientação das normais, essas integrais também se cancelam.

Passo 11

Assim, concluímos que a integral de superfície é zero:
integral duplaS F cdot n , dS = 0

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS é igual a zero.

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