Seja
de classe
no aberto
. Seja
a fronteira do conjunto
com normal
apontando para fora de
. Mostre que
. (Cuidado:
teorema da divergência não se aplica.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a integral de superfície
é igual a zero. A gente está trabalhando com um campo vetorial
definido em todo o espaço
menos na origem. A superfície
é a fronteira do conjunto
, que é formado por todos os pontos
que satisfazem
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e propriedades de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o conjunto
. A condição
define uma região no espaço onde
está entre duas superfícies parabólicas: uma voltada para cima (
) e outra voltada para baixo (
). Basicamente,
é uma espécie de “sanduíche” entre essas duas superfícies.
Passo 3
Agora, a superfície
é a fronteira desse conjunto
. Isso significa que
é composta por duas partes: a parte superior onde
e a parte inferior onde
. A norma
está apontando para fora de
, ou seja, está saindo do conjunto
.
Passo 4
Para calcular a integral de superfície
, vamos dividir
em duas partes:
(a parte superior) e
(a parte inferior). Assim, a integral fica:
Passo 5
Vamos parametrizar cada parte da superfície. Para
(parte superior), temos
. Podemos parametrizar usando coordenadas polares:
Onde
varia de 0 a 1 (para que
) e
de 0 a
.
Passo 6
Para
(parte inferior), a equação é
. Também parametrize em coordenadas polares:
Aqui,
também varia de 0 a 1 e
de 0 a
.
Passo 7
Vamos calcular as normais
para cada parte. Para
, a normal aponta para fora de
, ou seja, para cima na parte superior. A normal pode ser encontrada usando o gradiente da função que define
:
Similarmente, para
:
Passo 8
Agora, vamos calcular
para cada parte da superfície.
Para
:
Para
:
Passo 9
Observando as duas expressões, percebemos que, quando somamos as integrais sobre
e
, os termos
e
se cancelam:
Passo 10
Portanto, o que resta é:
Mas, como
e
têm contribuições opostas para
devido à orientação das normais, essas integrais também se cancelam.
Passo 11
Assim, concluímos que a integral de superfície é zero:
Resposta
A integral de superfície
é igual a zero.