Seja f: R^3 R uma função de classe C^2. Suponha que o Laplaciano da função f é De<a f=x^2+y^2. Calcule integral duplaS nabla f cdot n d S, onde S é a esfera x^2+y^2+z^2=1 e n é exterior a S.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:R^3toR de classe C^2 cujo Laplaciano satisfaz De<a f = x^2+y^2, e pede o valor de
integral duplaS nabla fcdotvec n,dS,
onde S é a esfera x^2+y^2+z^2=1 com normal exterior. Vamos usar o Teorema da Divergência para transformar esse fluxo num integral de volume do Laplaciano sobre a bola unitária.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência, para a região V limitada por S vale
integral duplaSnabla fcdotvec n,dS =integral triplaVnablacdot(nabla f),dV =integral triplaVDe<a f,dV
Como De<a f = x^2+y^2, precisamos calcular
integral triplaV(x^2+y^2),dV,
onde V é a bola x^2+y^2+z^2<=1.

Passo 3

Em coordenadas esféricas (r,theta,phi), com x=rsinthetacosphi, y=rsinthetasinphi, z=rcostheta e dV = r^2sintheta,dr,dtheta,dphi, temos
x^2+y^2 = r^2sin^2theta(cos^2phi+sin^2phi) = r^2sin^2theta
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integral triplaV(x^2+y^2),dV =integral0^1!integral0^pi!integral0^2pi l(r^2sin^2thetar),(r^2sintheta),dphi,dtheta,dr

Passo 4

Agrupando termos,
integral triplaV(x^2+y^2),dV =integral0^1r^4,dr integral0^pisin^3theta,dtheta integral0^2pidphi
Sabemos que
integral0^2pidphi = 2pi, integral0^pisin^3theta,dtheta = tfrac43, integral0^1r^4,dr = tfrac15

Passo 5

Multiplicando esses resultados:
integral triplaV(x^2+y^2),dV = 15,43,(2pi) = 8pi15
Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo desejado é tfrac8pi15.

Resposta

8pi15

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