Seja
uma função de classe
. Suponha que o Laplaciano da função
é
. Calcule
, onde
é a esfera
e
é exterior a
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
de classe
cujo Laplaciano satisfaz
, e pede o valor de
onde
é a esfera
com normal exterior. Vamos usar o Teorema da Divergência para transformar esse fluxo num integral de volume do Laplaciano sobre a bola unitária.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência, para a região
limitada por
vale
Como
, precisamos calcular
onde
é a bola
.
Passo 3
Em coordenadas esféricas
, com
,
,
e
, temos
Logo
Passo 4
Agrupando termos,
Sabemos que
Passo 5
Multiplicando esses resultados:
Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo desejado é
.