Verifique que o Teorema da Divergência é verdadeiro para o campo
, onde
é o cilindro sólido
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência para o campo
no sólido cilíndrico
no sólido cilíndrico
Conteúdo: usar o Teorema da Divergência, que diz
Precisamos calcular em duas partes: (i) a divergência
e seu integral triplo em
, e (ii) o fluxo de
através da superfície fechada
.
Passo 2
Calcular a divergência
Passo 3
Avaliar o integral triplo
em coordenadas cilíndricas
, com
,
,
,
,
. Então
Integramos em
:
logo o integral fica
Passo 4
Calcular o fluxo em
pelas faces planas
e
:
- Em
, e , logo o fluxo é zero. - Em
, , , então
e
por simetria, ou seja, fluxo zero nessas duas faces.
Passo 5
Calcular o fluxo na superfície lateral
. Em coordenadas
:
,
, o vetor normal externo é
e
.
No ponto sobre a lateral
, então
No ponto sobre a lateral
Logo o fluxo é
Passo 6
O integral triplo da divergência deu
e o fluxo total pela superfície fechada
também deu
. Portanto os dois lados do Teorema da Divergência coincidem.
Resposta
O Teorema da Divergência é verificado pois