Verifique que o Teorema da Divergência é verdadeiro para o campo F(x, y, z)=x z i+y z j+z x k, onde E é o cilindro sólido x^2+y^2 <= 1,0 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência para o campo
F(x,y,z)=x,z,i+y,z,j+z,x,k
no sólido cilíndrico
E=(x,y,z)mid x^2+y^2<=1,;0<= z<=1
Conteúdo: usar o Teorema da Divergência, que diz
integral duplapartial EFcdotn,dS = integral triplaEnablacdotF,dV
Precisamos calcular em duas partes: (i) a divergência nablacdotF e seu integral triplo em E, e (ii) o fluxo de F através da superfície fechada partial E.

Passo 2

Calcular a divergência
nablacdotF =partialpartial x(x,z) +partialpartial y(y,z) +partialpartial z(z,x) =z+z+x =2z+x

Passo 3

Avaliar o integral triplo
integral triplaE(2z+x),dV
em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), com x=rcostheta, ,dV=r,dr,dtheta,dz, rin[0,1], thetain[0,2pi], zin[0,1]. Então
integral triplaE(2z+x),dV =integral0^2pi!integral0^1!integral0^1(2z+rcostheta),r,dz,dr,dtheta
Integramos em z:
integral0^1(2z,r),dz=re integral0^1(r^2costheta),dz=r^2costheta,
logo o integral fica
integral0^2pi!integral0^1l(r+r^2costhetar),dr,dtheta =integral0^2pil[tfrac12+tfrac13costhetar],dtheta =pi+0 =pi

Passo 4

Calcular o fluxo em partial E pelas faces planas z=0 e z=1:
  • Em z=0, F=(0,0,0) e n=-k, logo o fluxo é zero.
  • Em z=1, F(x,y,1)=(x,y,x), n=+k, então
Fcdotn=x,
e
integral duplax^2+y^2<=1x,dS=0
por simetria, ou seja, fluxo zero nessas duas faces.

Passo 5

Calcular o fluxo na superfície lateral x^2+y^2=1. Em coordenadas (theta,z):
,x=costheta, y=sintheta, o vetor normal externo é n=(costheta,sintheta,0) e dS=1,dtheta,dz.
No ponto sobre a lateral
F=(zcostheta,zsintheta,zcostheta), então
Fcdotn =zcos^2theta+zsin^2theta =z
Logo o fluxo é
integral0^2pi!integral0^1z,dtheta,dz =2piintegral0^1z,dz =2picdottfrac12 =pi

Passo 6

O integral triplo da divergência deu pi e o fluxo total pela superfície fechada partial E também deu pi. Portanto os dois lados do Teorema da Divergência coincidem.

Resposta

O Teorema da Divergência é verificado pois
integral triplaEnablacdotF,dV = integral duplapartial EFcdotn,dS =pi

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