(1,5) Seja a relação
em
. Mostre que
Passo 1
O enunciado define a relação de equivalência em
por
e pede para mostrar que as classes de equivalência de
e de
coincidem, ou seja,
O conteúdo é o de classes de equivalência para congruência módulo
. Vamos usar a definição de classe e a propriedade de que, numa relação de equivalência, se dois elementos são relacionados então suas classes são iguais.
Passo 2
Calculemos a diferença entre os dois números:
Como
é divisível por
, concluímos que
Passo 3
Da congruência
segue que
. Mas numa relação de equivalência vale o fato geral:
Aqui, como
, temos imediatamente
Passo 4
Opcionalmente, podemos ver diretamente que
é o conjunto de todos os inteiros pares, e o mesmo vale para
Logo ambos são iguais ao conjunto
.