(1,5) Seja a relação x equiv y(bmod cdot 2) em Z. Mostre que
[-4]=[4]

Passo 1

O enunciado define a relação de equivalência em Z por
x equiv y pmod2,
e pede para mostrar que as classes de equivalência de -4 e de 4 coincidem, ou seja,
[-4]=[4]
O conteúdo é o de classes de equivalência para congruência módulo 2. Vamos usar a definição de classe e a propriedade de que, numa relação de equivalência, se dois elementos são relacionados então suas classes são iguais.

Passo 2

Calculemos a diferença entre os dois números:
4 - (-4) = 8
Como 8 é divisível por 2, concluímos que
-4 equiv 4 pmod2

Passo 3

Da congruência -4equiv4pmod2 segue que 4in[-4]. Mas numa relação de equivalência vale o fato geral:
se asim b então [a]=[b] ã
Aqui, como -4sim 4, temos imediatamente
[-4]=[4]

Passo 4

Opcionalmente, podemos ver diretamente que
[-4]=,xin Zmid xequiv -4pmod2
é o conjunto de todos os inteiros pares, e o mesmo vale para
[4]=,xin Zmid xequiv 4pmod2
Logo ambos são iguais ao conjunto 2kmid kin Z.

Resposta

[-4]=[4]=,2kmid kin Z

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