(2,0) Seja
. Classifique as relações,
, abaixo, (isto é, conclua se são reflexivas, antirreflexivas, simétricas, antissimétricas e/ou transitivas)
,
Passo 1
O enunciado define
e a relação
ou seja, só contém pares de elementos iguais. Vamos testar se ela é reflexiva, antirreflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva, usando as definições formais de cada propriedade.
Passo 2
Verificando reflexividade e antirreflexividade:
-
Definição de reflexiva:
.
Aqui, por construção, para todoexiste exatamente o par em . Logo, é reflexiva. -
Definição de antirreflexiva:
.
Como temos todos os paresem , isso falha. Logo, não é antirreflexiva.
Passo 3
Verificando simetria:
- Definição de simétrica:
.
Emsó aparecem pares do tipo . Sempre que , o par também está em . Logo, é simétrica.
Passo 4
Verificando antissimetria:
- Definição de antissimétrica:
.
Emnão há pares com . Sempre que ambos e estão em , de fato . Isso é verdade de forma vacuamente verdadeira. Logo, é antissimétrica.
Passo 5
Verificando transitividade:
- Definição de transitiva:
.
Os únicos pares possíveis emsão . Se tomarmos e , então e , e . Logo, é transitiva.
Resposta
A relação
é reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva, mas não é antirreflexiva.