(2,0) Seja A=1,2,3,4,5. Classifique as relações, R subset A^2, abaixo, (isto é, conclua se são reflexivas, antirreflexivas, simétricas, antissimétricas e/ou transitivas)
R=(a, a): a in1,2,3,4,5,

Passo 1

O enunciado define A=1,2,3,4,5 e a relação
R=(a,a)mid ain A,
ou seja, só contém pares de elementos iguais. Vamos testar se ela é reflexiva, antirreflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva, usando as definições formais de cada propriedade.

Passo 2

Verificando reflexividade e antirreflexividade:
  • Definição de reflexiva:
    forall ain Acolon (a,a)in R.
    Aqui, por construção, para todo ain A existe exatamente o par (a,a) em R. Logo, é reflexiva.
  • Definição de antirreflexiva:
    forall ain Acolon (a,a)notin R.
    Como temos todos os pares (a,a) em R, isso falha. Logo, não é antirreflexiva.

Passo 3

Verificando simetria:
  • Definição de simétrica:
    forall (x,y)in Rimplies (y,x)in R.
    Em R só aparecem pares do tipo (a,a). Sempre que (x,y)=(a,a)in R, o par (y,x)=(a,a) também está em R. Logo, é simétrica.

Passo 4

Verificando antissimetria:
  • Definição de antissimétrica:
    forall x,yin A,;[(x,y)in Rland (y,x)in R]implies x=y.
    Em R não há pares com xneq y. Sempre que ambos (x,y) e (y,x) estão em R, de fato x=y. Isso é verdade de forma vacuamente verdadeira. Logo, é antissimétrica.

Passo 5

Verificando transitividade:
  • Definição de transitiva:
    forall x,y,zin A,;[(x,y)in Rland (y,z)in R]implies (x,z)in R.
    Os únicos pares possíveis em R são (a,a). Se tomarmos (x,y)=(a,a) e (y,z)=(a,a), então x=a e z=a, e (x,z)=(a,a)in R. Logo, é transitiva.

Resposta

A relação R é reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva, mas não é antirreflexiva.

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