(2,0) Sejam
e
relações. Prove que: se
, então
.
Passo 1
Estamos trabalhando com duas relações
e
. Lembrando a definição de inversa de uma relação:
O que precisamos mostrar é que, se
, então necessariamente
.
Passo 2
Mostramos primeiro a inclusão
. Seja
.
Pela definição de inversa, . Mas como
, temos
.
Logo, pela definição de inversa de ,
.
Portanto cada par de está em
, ou seja,
Pela definição de inversa,
Logo, pela definição de inversa de
Portanto cada par de
Passo 3
Agora mostramos a inclusão
. Seja
.
Isso significa que . Como
, segue
.
Pela definição de inversa de ,
.
Portanto
Isso significa que
Pela definição de inversa de
Portanto
Resposta
Juntando as duas inclusões, obtemos
, como queríamos demonstrar.