(2,0) Sejam R e S relações. Prove que: se R=S^-1, então S=R^-1.

Passo 1

Estamos trabalhando com duas relações Rsubseteq Atimes B e Ssubseteq Btimes A. Lembrando a definição de inversa de uma relação:
T^-1=(y,x)mid (x,y)in T
O que precisamos mostrar é que, se ;R=S^-1, então necessariamente ;S=R^-1.

Passo 2

Mostramos primeiro a inclusão Ssubseteq R^-1. Seja (x,y)in S.
Pela definição de inversa, (y,x)in S^-1. Mas como R=S^-1, temos (y,x)in R.
Logo, pela definição de inversa de R, (x,y)in R^-1.
Portanto cada par de S está em R^-1, ou seja,
Ssubseteq R^-1

Passo 3

Agora mostramos a inclusão R^-1subseteq S. Seja (x,y)in R^-1.
Isso significa que (y,x)in R. Como R=S^-1, segue (y,x)in S^-1.
Pela definição de inversa de S, (x,y)in S.
Portanto
R^-1subseteq S

Resposta

Juntando as duas inclusões, obtemos S=R^-1, como queríamos demonstrar.

Exercícios relacionados