Seja f(x, y)=x^2 y.
Calcule d fa para a=(1,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a diferencial de f(x,y)=x^2y no ponto a=(1,2). Isso envolve o conteúdo de derivadas parciais e o conceito de diferencial como um mapeamento linear.

Passo 2

Sabendo que a diferencial df_a é dada por df_a(h_1,h_2)=f_x(a)·h_1 + f_y(a)·h_2, precisamos então encontrar as derivadas parciais de f.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
fx(x,y)=partialpartial x(x^2y)=2xy,
fy(x,y)=partialpartial y(x^2y)=x^2

Passo 4

Agora avaliamos essas derivadas no ponto a=(1,2):
f_x(1,2)=2·1·2=4
e
f_y(1,2)=1^2=1.

Passo 5

Portanto, a diferencial em a é o mapeamento linear
df(1,2)(h1,h2)=4h1 + 1h2,
ou, escrevendo como 1-forma,
df(1,2)=4,dx + dy

Resposta

df(1,2)(h1,h2)=4h1 + h2

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