Seja S o cone elíptico de equação S: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
x=4

Passo 1

O enunciado pede a interseção do cone elíptico
S:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}
com o plano x=4.
Conteúdo: obtenção de uma seção cônica por substituição e classificação da curva resultante.

Passo 2

Substituímos x=4 na equação de S:
\frac{4^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}
o que dá
4+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}.

Passo 3

Reescrevemos em forma canônica de uma cônica no plano x=4. Passamos tudo para o mesmo lado e organizamos:
z^{2}-\frac{y^{2}}{16}=4.
Dividindo ambos os lados por 4, obtemos
\frac{z^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{64}=1,
que é a equação de uma hipérbole.

Passo 4

Concluímos que a interseção existe e é uma hipérbole situada no plano x=4, cuja equação cartesiana é
\frac{z^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{64}=1.
Opcionalmente, uma parametrização para essa curva é
y=8\,t,\qquad z=\pm4\sqrt{1+t^{2}},\qquad t\in\mathbb{R}.

Resposta

A interseção de S com o plano x=4 é a hipérbole do plano x=4 dada por
\frac{z^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{64}=1.

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