Seja S o cone elíptico de equação S: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
x=0

Passo 1

O enunciado nos dá o cone elíptico
S: \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = z^{2}
e pede a curva de interseção de S com o plano x=0. O conteúdo aqui é obter a relação que sobra em y e z quando fixamos x=0, e descrever geometricamente essa curva.

Passo 2

Na interseção colocamos x=0 na equação de S. Assim,
\frac{0^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = z^{2}
simplifica para
\frac{y^{2}}{16} = z^{2}.
Multiplicando ambos os lados por 16,
y^{2} = 16\,z^{2}.
Isso implica
y = 4\,z \quad\text{ou}\quad y = -4\,z.
Portanto, na reta coordenada x=0, a interseção são duas retas que passam pela origem no plano yz, dadas por y-4z=0 e y+4z=0.

Resposta

A interseção de S com o plano x=0 é
\{(0,y,z)\mid y = 4z\}\;\cup\;\{(0,y,z)\mid y = -4z\},
ou seja, duas retas passando pela origem em x=0.

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