Seja M_{n}(\mathbb{R}) o espaço vetorial das matrizes quadradas n \times n. Verifique se W é ou não um subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}).
W=\left\{A \in M_{n}(\mathbb{R}) ; A^{2}=A\right\}. (matrizes idempotentes)

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial M_{n}(\mathbb{R}) das matrizes n\times n e o conjunto
W = \{\,A\in M_{n}(\mathbb{R}) \mid A^2 = A\},
isto é, o conjunto das matrizes idempotentes. Para verificar se W é subespaço vetorial, precisamos checar três propriedades:
  1. 0\in W.
  2. Se A,B\in W, então A+B\in W.
  3. Se A\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda A\in W.

Passo 2

Verificamos o elemento nulo e a soma de vetores em W.
  1. O elemento zero de M_{n}(\mathbb{R}) satisfaz
0^2 = 0,
logo 0\in W.
2. Para a soma, consideremos um exemplo simples em M_{n}(\mathbb{R}) (com n\ge2):
A = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \quad B = A.
Claramente A^2 = A e B^2 = B, mas
A + B = \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&0\end{pmatrix},
e
(A+B)^2 = \begin{pmatrix}4&0\\\ 0&0\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&0\end{pmatrix} = A+B.
Logo A+B\notin W. Portanto W não é fechado sob adição.

Passo 3

Verificamos a multiplicação por escalar. Tome A=I (a matriz identidade) que satisfaz I^2=I. Seja \lambda=2. Então
(\lambda I)^2 = 4I \neq 2I = \lambda I,
logo 2I\notin W. Portanto W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Como W falha em pelo menos uma das propriedades de fechamento (adição e multiplicação por escalar), concluímos que W não é um subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}).

Resposta

W não é subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}).

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