Seja
o espaço vetorial das matrizes quadradas
. Verifique se
é ou não um subespaço vetorial de
.
. (matrizes idempotentes)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
das matrizes
e o conjunto
isto é, o conjunto das matrizes idempotentes. Para verificar se
é subespaço vetorial, precisamos checar três propriedades:
-
. - Se
, então . - Se
e , então .
Passo 2
Verificamos o elemento nulo e a soma de vetores em
.
- O elemento zero de
satisfaz
logo
.
2. Para a soma, consideremos um exemplo simples em (com
):
2. Para a soma, consideremos um exemplo simples em
Claramente
e
, mas
e
Logo
. Portanto
não é fechado sob adição.
Passo 3
Verificamos a multiplicação por escalar. Tome
(a matriz identidade) que satisfaz
. Seja
. Então
logo
. Portanto
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Como
falha em pelo menos uma das propriedades de fechamento (adição e multiplicação por escalar), concluímos que
não é um subespaço vetorial de
.