Seja A o conjunto de estudantes que moram a menos de 1 quilômetro de distância da faculdade e B, o conjunto dos estudantes que vão a pé para as aulas. Descreva quais são os estudantes em cada um dos conjuntos abaixo:
A - B

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre conjuntos de estudantes:
  • A é o conjunto dos estudantes que moram a menos de 1 quilômetro da faculdade.
  • B é o conjunto dos estudantes que vão a pé para as aulas.
A pergunta é: descrever quais estudantes pertencem ao conjunto A - B.
Observação importante que vem do enunciado: “menos de 1” quilômetro significa estritamente menor que 1; se um estudante mora exatamente a 1 quilômetro, ele não pertence a A.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa a operação de diferença entre conjuntos. Para quaisquer conjuntos X e Y definimos:
X - Y = \{x \in X \mid x \notin Y\}.
Explicando cada parte: as chaves \{\\ \} indicam que estamos descrevendo um conjunto por propriedade; o símbolo \mid (barra vertical) lê-se “tal que”; x \in X significa “ x pertence a X”; x \notin Y significa “ x não pertence a Y”. Em palavras: X - Y é o conjunto de elementos que estão em X e que não estão em Y.

Passo 3

Aplicando essa definição aos nossos conjuntos A e B, temos:
A - B = \{x \in A \mid x \notin B\}.
Agora traduzimos isso para a situação concreta: um estudante x está em A - B quando (i) ele mora a menos de 1 quilômetro da faculdade (pois x\in A) e (ii) ele não vai a pé para as aulas (pois x\notin B).

Passo 4

Uma forma muito prática de pensar nisso na prova é usar duas propriedades lógicas:
p(x):\\ \text{“\(x\) mora a menos de \(1\) km da faculdade”}
q(x):\\ \text{“\(x\) vai a pé para as aulas”}é
Então
A - B = \{x \mid p(x)\\ \land\\ \lnot q(x)\},
onde \land significa “e” lógico (ambas as condições devem ser verdadeiras) e \lnot significa negação (não). Ou seja: mora perto E não vai a pé.

Passo 5

Para fixar, alguns exemplos concretos (cada número de distância está em TeX):
  • Maria mora a 0,5 km e vai de ônibus: Maria satisfaz “mora a menos de 1 km” e “não vai a pé” → Maria ∈ A - B.
  • João mora a 0,8 km e vai a pé: João satisfaz “mora a menos de 1 km” mas não satisfaz “não vai a pé” → João ∉ A - B (ele está em A\cap B).
  • Ana mora a 1 km e vai a pé: Ana não satisfaz “mora a menos de 1 km” (pois 1 não é menos que 1) → Ana ∉ A e portanto ∉ A - B.
  • Carlos mora a 2 km e vai de bicicleta: Carlos não está em A → Carlos ∉ A - B.

Passo 6

Receita rápida para a prova (passos para decidir se um estudante está em A-B):
  1. Verifique a distância: se não for menor que 1 km, o estudante não está em A → não pertence a A-B.
  2. Se a distância for menor que 1 km, verifique o modo de deslocamento: se vai a pé, então pertence a B → não pertence a A-B; se não vai a pé (ônibus, carro, bicicleta etc.), então pertence a A-B.

Resposta

Estudantes que moram a menos de 1 quilômetro da faculdade e que não vão a pé para as aulas.
A - B = \{x \in A \mid x \notin B\}

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