Seja A o conjunto de estudantes que moram a menos de 1 quilômetro de distância da faculdade e B, o conjunto dos estudantes que vão a pé para as aulas. Descreva quais são os estudantes em cada um dos conjuntos abaixo:
A - B
A - B
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre conjuntos de estudantes:
-
é o conjunto dos estudantes que moram a menos de quilômetro da faculdade. -
é o conjunto dos estudantes que vão a pé para as aulas.
A pergunta é: descrever quais estudantes pertencem ao conjunto
.
Observação importante que vem do enunciado: “menos de ” quilômetro significa estritamente menor que
; se um estudante mora exatamente a
quilômetro, ele não pertence a
.
Observação importante que vem do enunciado: “menos de
Passo 2
Vamos lembrar o que significa a operação de diferença entre conjuntos. Para quaisquer conjuntos
e
definimos:
Explicando cada parte: as chaves
indicam que estamos descrevendo um conjunto por propriedade; o símbolo
(barra vertical) lê-se “tal que”;
significa “
pertence a
”;
significa “
não pertence a
”. Em palavras:
é o conjunto de elementos que estão em
e que não estão em
.
Passo 3
Aplicando essa definição aos nossos conjuntos
e
, temos:
Agora traduzimos isso para a situação concreta: um estudante
está em
quando (i) ele mora a menos de
quilômetro da faculdade (pois
) e (ii) ele não vai a pé para as aulas (pois
).
Passo 4
Uma forma muito prática de pensar nisso na prova é usar duas propriedades lógicas:
Então
onde
significa “e” lógico (ambas as condições devem ser verdadeiras) e
significa negação (não). Ou seja: mora perto E não vai a pé.
Passo 5
Para fixar, alguns exemplos concretos (cada número de distância está em TeX):
- Maria mora a
km e vai de ônibus: Maria satisfaz “mora a menos de km” e “não vai a pé” → Maria ∈ . - João mora a
km e vai a pé: João satisfaz “mora a menos de km” mas não satisfaz “não vai a pé” → João ∉ (ele está em ). - Ana mora a
km e vai a pé: Ana não satisfaz “mora a menos de km” (pois não é menos que ) → Ana ∉ e portanto ∉ . - Carlos mora a
km e vai de bicicleta: Carlos não está em → Carlos ∉ .
Passo 6
Receita rápida para a prova (passos para decidir se um estudante está em
):
- Verifique a distância: se não for menor que
km, o estudante não está em → não pertence a . - Se a distância for menor que
km, verifique o modo de deslocamento: se vai a pé, então pertence a → não pertence a ; se não vai a pé (ônibus, carro, bicicleta etc.), então pertence a .
Resposta
Estudantes que moram a menos de
quilômetro da faculdade e que não vão a pé para as aulas.