Seja o conjunto
. Verifique se:
(a)
é limitado superiormente? Tem
? Tem máximo?
(b)
é limitado inferiormente? Tem inf
? Tem mínimo?
(c)
é limitado?
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
As perguntas que devemos responder são:
(a) é limitado superiormente? Existe
? Existe máximo?
(b) é limitado inferiormente? Existe
? Existe mínimo?
(c) é limitado?
(a)
(b)
(c)
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da desigualdade fatorando os polinômios (isso ajuda muito a estudar sinais). Fatoremos cada quadrático:
Portanto a condição do conjunto fica
Passo 3
Agora uma observação muito útil sobre o factor
:
- Para todo
vale . - Além disso
somente em .
Isto implica que, para
, o sinal do produto
é exatamente o sinal de
, porque estamos multiplicando por um número positivo. Em
o produto é zero (já que
), então
satisfaz a desigualdade.
Passo 4
Logo, para
a desigualdade é equivalente a
Estudemos essa desigualdade. Os zeros de
são
e
. Como é o produto de duas retas (abertura positiva quando visto como quadrática), o produto é negativo entre as raízes e positivo fora. Portanto
Além disso, como vimos em
Passo 5
Concluímos, então, qual é o conjunto
:
Para visualizar: há um ponto isolado em
e o intervalo fechado de
a
.
Passo 6
Agora respondo às questões sobre limites, supremo, ínfimo, máximo e mínimo. Vou lembrar rapidamente as definições (em linguagem simples):
-
é limitado superiormente se existe tal que para todo . Um tal chama-se cota superior. -
é a menor cota superior (menor entre todas as cotas superiores). - Se
, dizemos que tem máximo e . - Analogamente,
é limitado inferiormente se existe com para todo ; é a maior cota inferior; se então . -
é limitado se é limitada superiormente e inferiormente.
Passo 7
Determinação do supremo e do máximo (limite superior):
- Observando
, todos os elementos do conjunto são menores ou iguais a . Logo é uma cota superior. - Além disso
(porque ). Isso mostra que qualquer cota superior deve satisfazer , portanto a menor cota superior é . Assim . - Como
e , temos que tem máximo: .
Portantoé limitado superiormente, tem e tem máximo .
Passo 8
Determinação do ínfimo e do mínimo (limite inferior):
- Novamente olhando para
, o menor elemento é claramente (pois ). - Logo
é uma cota inferior e como se segue que e .
Portantoé limitado inferiormente, tem e tem mínimo .
Passo 9
Conclusão sobre ser limitado:
- Como
é limitado superiormente (por ) e limitado inferiormente (por ), então é limitado. - Em termos simples: todo
satisfaz .
Resposta
(a) Sim;
;
(b) Sim; ;
(c) Sim, é limitado (pois
para todo
).
(b) Sim;
(c) Sim,