Seja o conjunto X=\left\{x \in \mathbb{R} ;\left(x^{2}-3 x+2\right)\left(x^{2}+2 x+1\right) \leq 0\right\}. Verifique se:
(a) X é limitado superiormente? Tem \sup X ? Tem máximo?
(b) X é limitado inferiormente? Tem inf X ? Tem mínimo?
(c) X é limitado?

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
X=\left\{x\in\mathbb{R}\;;\;(x^{2}-3x+2)(x^{2}+2x+1)\leq 0\right\}.
As perguntas que devemos responder são:
(a) X é limitado superiormente? Existe \sup X? Existe máximo?
(b) X é limitado inferiormente? Existe \inf X? Existe mínimo?
(c) X é limitado?

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da desigualdade fatorando os polinômios (isso ajuda muito a estudar sinais). Fatoremos cada quadrático:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2), \qquad x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Portanto a condição do conjunto fica
(x-1)(x-2)(x+1)^{2}\leq 0.

Passo 3

Agora uma observação muito útil sobre o factor (x+1)^{2}:
  • Para todo x\in\mathbb{R} vale (x+1)^{2}\geq 0.
  • Além disso (x+1)^{2}=0 somente em x=-1.
Isto implica que, para x\neq -1, o sinal do produto (x-1)(x-2)(x+1)^{2} é exatamente o sinal de (x-1)(x-2), porque estamos multiplicando por um número positivo. Em x=-1 o produto é zero (já que (x+1)^{2}=0), então x=-1 satisfaz a desigualdade.

Passo 4

Logo, para x\neq -1 a desigualdade é equivalente a
(x-1)(x-2)\leq 0.
Estudemos essa desigualdade. Os zeros de (x-1)(x-2) são x=1 e x=2. Como é o produto de duas retas (abertura positiva quando visto como quadrática), o produto é negativo entre as raízes e positivo fora. Portanto
(x-1)(x-2)\leq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in[1,2].
Além disso, como vimos em

Passo 5

Concluímos, então, qual é o conjunto X:
X=\{-1\}\cup[1,2].
Para visualizar: há um ponto isolado em -1 e o intervalo fechado de 1 a 2.

Passo 6

Agora respondo às questões sobre limites, supremo, ínfimo, máximo e mínimo. Vou lembrar rapidamente as definições (em linguagem simples):
  • X é limitado superiormente se existe M\in\mathbb{R} tal que x\leq M para todo x\in X. Um tal M chama-se cota superior.
  • \sup X é a menor cota superior (menor entre todas as cotas superiores).
  • Se \sup X\in X, dizemos que X tem máximo e \max X=\sup X.
  • Analogamente, X é limitado inferiormente se existe m com x\geq m para todo x\in X; \inf X é a maior cota inferior; se \inf X\in X então \min X=\inf X.
  • X é limitado se é limitada superiormente e inferiormente.

Passo 7

Determinação do supremo e do máximo (limite superior):
  • Observando X=\{-1\}\cup[1,2], todos os elementos do conjunto são menores ou iguais a 2. Logo 2 é uma cota superior.
  • Além disso 2\in X (porque 2\in[1,2]). Isso mostra que qualquer cota superior M deve satisfazer M\geq 2, portanto a menor cota superior é 2. Assim \sup X=2.
  • Como \sup X=2 e 2\in X, temos que X tem máximo: \max X=2.
    Portanto X é limitado superiormente, tem \sup X=2 e tem máximo \max X=2.

Passo 8

Determinação do ínfimo e do mínimo (limite inferior):
  • Novamente olhando para X=\{-1\}\cup[1,2], o menor elemento é claramente -1 (pois -1<1).
  • Logo -1 é uma cota inferior e como -1\in X se segue que \inf X=-1 e \min X=-1.
    Portanto X é limitado inferiormente, tem \inf X=-1 e tem mínimo \min X=-1.

Passo 9

Conclusão sobre ser limitado:
  • Como X é limitado superiormente (por 2) e limitado inferiormente (por -1), então X é limitado.
  • Em termos simples: todo x\in X satisfaz -1\leq x\leq 2.

Resposta

(a) Sim; \sup X=2; \max X=2
(b) Sim; \inf X=-1; \min X=-1
(c) Sim, X é limitado (pois -1\leq x\leq 2 para todo x\in X).

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