Seja o conjunto
. Verifique se:
(a)
é limitado superiormente? Tem
? Tem máximo?
(b)
é limitado inferiormente? Tem
? Tem mínimo?
(c)
é limitado?
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
As tarefas pedidas são claramente:
(a) Verificar se é limitado superiormente; indicar se existe
; e se existe máximo de
.
(b) Verificar se é limitado inferiormente; indicar se existe
; e se existe mínimo de
.
(c) Verificar se é limitado (isto é, simultaneamente limitado superior e inferiormente).
(a) Verificar se
(b) Verificar se
(c) Verificar se
Vou usar explicitamente as informações do enunciado acima; a resolução começa a seguir.
Passo 2
Primeiro precisamos descrever o conjunto
resolvendo a desigualdade
Subtraindo
dos dois lados:
Fatorando o polinômio:
Agora estudamos o sinal do produto
. As raízes são
e
. Como é um polinômio quadrático com coeficiente de
positivo, ele é negativo entre as raízes e positivo fora. Logo a solução da desigualdade é
Portanto, explicitamente,
(Comentário didático rápido sobre o passo: fatorar e usar a análise de sinais em intervalos determinados pelas raízes é um método padrão para resolver desigualdades quadráticas. Aqui a parábola abre para cima, então a parte negativa fica entre as raízes.)
Passo 3
Agora tratamos (a): limitado superiormente?
? máximo?
Definições rápidas e simples (didática):
- Dizer que
é limitado superiormente significa: existe tal que para todo vale . - Um número
é (supremo) quando (i) é uma cota superior de (todo tem ) e (ii) é a menor cota superior (nenhuma cota menor que é cota superior). - O máximo de
é um elemento tal que para todo tem . Assim, se existir máximo ele coincide com o supremo e deve pertencer a .
Aplicando ao nosso
:
- Mostro que
é uma cota superior: para todo temos , portanto . Assim é um limite superior (uma cota superior). - Mostro que não existe cota superior menor que
. Seja qualquer número com . Preciso provar que não é cota superior, isto é, existe com . - Se
, então qualquer (por exemplo ) satisfaz , logo não é cota superior. - Se
, então a média está estritamente entre e , ou seja Portanto e , mostrando que não é cota superior.
Assim, nenhumé cota superior, então é a menor cota superior, isto é,
- Se
- O máximo seria
se ele pertencesse a . Mas , logo não tem máximo.
Passo 4
Agora tratamos (b): limitado inferiormente?
? mínimo?
Definições rápidas:
- Dizer que
é limitado inferiormente significa: existe tal que para todo vale . -
(ínfimo) é a maior cota inferior; mínimo é um elemento de que é cota inferior.
Aplicando ao
:
- Mostro que
é cota inferior: para todo tem , logo . Assim é uma cota inferior. - Mostro que não existe cota inferior maior que
. Seja tal que . Quero mostrar que não é cota inferior, ou seja, existe com . Tome a média entre e :
Então
, portanto
e
. Logo
não é cota inferior. Assim
é a maior cota inferior, ou seja,
- O mínimo seria
se . Mas , logo não tem mínimo.
Passo 5
Agora (c):
é limitado?
Definição: um conjunto
é limitado se existe
tal que
para todo
. Como já mostramos
, então para todo
vale
. Logo
para todo
(por exemplo). Assim
é limitado (é limitado superior e inferiormente).
Passo 6
Resumo rápido e intuitivo (motivação): o conjunto dado virou o intervalo aberto
. Um intervalo aberto com extremos finitos é sempre limitado; os extremos são supremo e ínfimo, mas como são abertos (não pertencem ao conjunto) não há máximo nem mínimo.
Resposta
(a) Sim,
é limitado superiormente;
;
não tem máximo.
(b) Sim, é limitado inferiormente;
;
não tem mínimo.
(c) Sim, é limitado.
(b) Sim,
(c) Sim,