Seja o conjunto X=\left\{x \in \mathbb{R} ; x^{2}+x<6\right\}. Verifique se:
(a) X é limitado superiormente? Tem \sup X ? Tem máximo?
(b) X é limitado inferiormente? Tem \inf X ? Tem mínimo?
(c) X é limitado?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
X=\{x\in\mathbb{R}\;:\;x^{2}+x<6\}.
As tarefas pedidas são claramente:
(a) Verificar se X é limitado superiormente; indicar se existe \sup X; e se existe máximo de X.
(b) Verificar se X é limitado inferiormente; indicar se existe \inf X; e se existe mínimo de X.
(c) Verificar se X é limitado (isto é, simultaneamente limitado superior e inferiormente).
Vou usar explicitamente as informações do enunciado acima; a resolução começa a seguir.

Passo 2

Primeiro precisamos descrever o conjunto X resolvendo a desigualdade
x^{2}+x<6.
Subtraindo 6 dos dois lados:
x^{2}+x-6<0.
Fatorando o polinômio:
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2).
Agora estudamos o sinal do produto (x+3)(x-2). As raízes são x=-3 e x=2. Como é um polinômio quadrático com coeficiente de x^{2} positivo, ele é negativo entre as raízes e positivo fora. Logo a solução da desigualdade é
-3<x<2.
Portanto, explicitamente,
X = (-3,2).
(Comentário didático rápido sobre o passo: fatorar e usar a análise de sinais em intervalos determinados pelas raízes é um método padrão para resolver desigualdades quadráticas. Aqui a parábola abre para cima, então a parte negativa fica entre as raízes.)

Passo 3

Agora tratamos (a): limitado superiormente? \sup X? máximo?
Definições rápidas e simples (didática):
  • Dizer que X é limitado superiormente significa: existe M\in\mathbb{R} tal que para todo x\in X vale x\le M.
  • Um número s é \sup X (supremo) quando (i) s é uma cota superior de X (todo x\in X tem x\le s) e (ii) é a menor cota superior (nenhuma cota menor que s é cota superior).
  • O máximo de X é um elemento m\in X tal que para todo x\in X tem x\le m. Assim, se existir máximo ele coincide com o supremo e deve pertencer a X.
Aplicando ao nosso X=(-3,2):
  1. Mostro que 2 é uma cota superior: para todo x\in X temos x<2, portanto x\le 2. Assim 2 é um limite superior (uma cota superior).
  2. Mostro que não existe cota superior menor que 2. Seja u qualquer número com u<2. Preciso provar que u não é cota superior, isto é, existe x\in X com x>u.
    • Se u<-3, então qualquer x\in X (por exemplo x=-2) satisfaz x>u, logo u não é cota superior.
    • Se -3\le u<2, então a média \dfrac{u+2}{2} está estritamente entre u e 2, ou seja u<\frac{u+2}{2}<2.Portanto \dfrac{u+2}{2}\in X e \dfrac{u+2}{2}>u, mostrando que u não é cota superior.
      Assim, nenhum u<2 é cota superior, então 2 é a menor cota superior, isto é,
\sup X = 2.
  1. O máximo seria \sup X se ele pertencesse a X. Mas 2\notin(-3,2), logo X não tem máximo.

Passo 4

Agora tratamos (b): limitado inferiormente? \inf X? mínimo?
Definições rápidas:
  • Dizer que X é limitado inferiormente significa: existe m\in\mathbb{R} tal que para todo x\in X vale x\ge m.
  • \inf X (ínfimo) é a maior cota inferior; mínimo é um elemento de X que é cota inferior.
Aplicando ao X=(-3,2):
  1. Mostro que -3 é cota inferior: para todo x\in X tem x>-3, logo x\ge -3. Assim -3 é uma cota inferior.
  2. Mostro que não existe cota inferior maior que -3. Seja l tal que l>-3. Quero mostrar que l não é cota inferior, ou seja, existe x\in X com x<l. Tome a média entre -3 e l:
x=\frac{l+(-3)}{2}=\frac{l-3}{2}.
Então -3<x<l, portanto x\in X e x<l. Logo l não é cota inferior. Assim -3 é a maior cota inferior, ou seja,
\inf X = -3.
  1. O mínimo seria \inf X se -3\in X. Mas -3\notin(-3,2), logo X não tem mínimo.

Passo 5

Agora (c): X é limitado?
Definição: um conjunto X é limitado se existe M>0 tal que |x|\le M para todo x\in X. Como já mostramos X\subset(-3,2), então para todo x\in X vale -3<x<2. Logo |x|\le 3 para todo x\in X (por exemplo). Assim X é limitado (é limitado superior e inferiormente).

Passo 6

Resumo rápido e intuitivo (motivação): o conjunto dado virou o intervalo aberto (-3,2). Um intervalo aberto com extremos finitos é sempre limitado; os extremos são supremo e ínfimo, mas como são abertos (não pertencem ao conjunto) não há máximo nem mínimo.

Resposta

(a) Sim, X é limitado superiormente; \sup X=2; X não tem máximo.
(b) Sim, X é limitado inferiormente; \inf X=-3; X não tem mínimo.
(c) Sim, X é limitado.

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