Seja o conjunto X=\{x \in \mathbb{R} ;||x-4|+1| \leq 2\}. Verifique se:
(a) X é limitado superiormente? Tem sup X ? Tem máximo?
(b) X é limitado inferiormente? Tem \inf X ? Tem mínimo?
(c) X é limitado?
e pede para verificar, separadamente:
(a) se X é limitado superiormente; se existe \sup X; se existe máximo de X;
(b) se X é limitado inferiormente; se existe \inf X; se existe mínimo de X;
(c) se X é limitado (ou seja, limitado superior e inferiormente).
As informações relevantes dadas são apenas a definição do conjunto via a desigualdade com valores absolutos. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Revisão e observação sobre valor absoluto (passo didático curto e essencial).
Para qualquer número real y vale |y|\ge 0.
Se y\ge 0 então |y|=y.
Aplicando isso ao termo interno, note que |x-4|\ge 0 para todo x. Assim |x-4|+1 é um número maior ou igual a 1, em particular é não negativo. Portanto a barra externa não altera o sinal: para todo x,
\bigl||x-4|+1\bigr| = |x-4|+1.
Essa observação simplifica a desigualdade original.
Passo 3
Redução da desigualdade usando a observação anterior. Substituindo,
Agora usamos a equivalência padrão para desigualdades com valor absoluto: |x-4|\le 1 é equivalente ao sistema
-1 \le x-4 \le 1.
Somando 4 em todas as partes do sistema:
3 \le x \le 5.
Portanto o conjunto é exatamente o intervalo fechado
X = [3,5].
Isto já dá muita informação: os extremos 3 e 5 pertencem a X (porque a desigualdade é “≤”).
Passo 4
Análise de limite superior, supremo e máximo (item (a)).
Definição rápida: um número U é uma cota superior de X se \forall x\in X temos x\le U. O supremo \sup X é a menor cota superior. Um máximo é um elemento de X que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto.
Como X=[3,5], todo x\in X satisfaz x\le 5. Logo 5 é uma cota superior de X; portanto X é limitado superiormente.
Para mostrar que 5 é o supremo, devemos ver que não existe cota superior menor que 5. Seja \epsilon>0. Considere x=5-\epsilon/2. Então x\in[3,5]=X e x>5-\epsilon. Isso mostra que qualquer número <5 falha em ser cota superior. Portanto 5 é a menor cota superior, isto é, \sup X = 5.
Como 5\in X (porque o intervalo é fechado em 5), 5 é também o máximo de X. Logo o máximo existe e é 5.
Passo 5
Análise de limite inferior, ínfimo e mínimo (item (b)).
Definição rápida: um número L é uma cota inferior de X se \forall x\in X temos x\ge L. O ínfimo \inf X é a maior cota inferior. Um mínimo é um elemento de X que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
Como X=[3,5], todo x\in X satisfaz x\ge 3. Logo 3 é uma cota inferior; portanto X é limitado inferiormente.
Para mostrar que 3 é o ínfimo, considere \epsilon>0. O ponto x=3+\epsilon/2 pertence a X e é <3+\epsilon, de modo que qualquer número maior que 3 não pode ser cota inferior. Assim 3 é a maior cota inferior, logo \inf X = 3.
Como 3\in X, 3 é também o mínimo de X. Portanto o mínimo existe e é 3.
Passo 6
Conclusão sobre ser limitado (item (c)).
Um conjunto é limitado quando é limitado superiormente e inferiormente (equivalente: está contido em algum intervalo [a,b] com a,b finitos). Já vimos que X=[3,5], logo é claramente limitado. Por exemplo, \forall x\in X tem |x| \le 5, ou simplesmente X\subset [3,5].
Resposta
(a) Sim. \sup X = 5. \max X = 5.
(b) Sim. \inf X = 3. \min X = 3.
(c) Sim, X é limitado ( X=[3,5] ).